Conceptos Fundamentales de Derivadas en Cálculo

Definición del diferencial:

El diferencial es una variable que proviene de obtener la diferencia entre dos valores sucesivos, y es tan pequeña que se considera infinitamente pequeña.

Funciones y sus Derivadas

Función constante:

f(u) = k     f´(u) = 0 donde k representa cualquier número.

La derivada de una función constante es siempre cero.

Función identidad:

f(u) = u     f´(u) = 1

La derivada de una función identidad es la unidad. Cuando esta función le precede un coeficiente constante, entonces el resultado es el número, ya que la unidad multiplicada por el número da como resultado el mismo número.

Función potencia:

La forma de derivar la función potencia es multiplicando el cociente por el exponente y al exponente se le resta la unidad.

Regla del producto: Si f y g son diferenciables, entonces:

La derivada de una multiplicación de funciones se realiza multiplicando la derivada de la función “f” por la función “g” más la función “f” por la derivada de “g”.

Regla del cociente: Si f y g son diferenciables, entonces:

La derivada de una división de funciones se realiza multiplicando la derivada de la función “f” por la función “g” menos la función “f” por la derivada de “g”, y todo esto dividido entre la función “g” elevada al cuadrado. No es necesario elevar al cuadrado el denominador en el resultado, solo hay que dejarlo indicado.

Funciones trigonométricas:

f(u) = sen u     f´(u) = u´ cos u
f(u) = cos u     f´(u) = -u´ sen u
f(u) = tan u     f´(u) = u´ sec² u
f(u) = cot u     f´(u) = -u´ csc² u
f(u) = sec u     f´(u) = u´ sec u tan u
f(u) = csc u     f´(u) = -u´ csc u cot u

Las funciones trigonométricas se derivan aplicando las fórmulas anteriores. Se deriva el argumento y se coloca al principio de la función, después se escribe la función trigonométrica como aparece en la derivada.

Regla de la cadena:

Se aplica a funciones compuestas, como cuando una función está elevada a una potencia. Se utiliza la regla de la cadena para su solución: el exponente multiplica al coeficiente numérico, la función se escribe igual y se le resta al exponente la unidad, y al final se deriva la función, la cual se multiplica por el coeficiente.

Función logaritmo natural:

En la función logaritmo, se deriva el argumento entre el argumento original y se divide lo que sea posible.

Función exponencial:

De la función exponencial, se deriva el exponente y se multiplica por la función original. En este caso, al exponente no se le resta la unidad, siempre queda el mismo exponente.

Exponencial base “a”:

Y por último, la base exponencial base “a”, es una constante elevada a una variable. Se deriva el exponente y se multiplica por la base (solo se deja indicado, nunca se multiplica por la base) y por último se escribe “Ln” de la base, o sea del número.