Conceptos Fundamentales de Correspondencias y Aplicaciones Matemáticas

Correspondencias y Aplicaciones: Fundamentos Matemáticos

1. Correspondencias entre Conjuntos

Una correspondencia f entre dos conjuntos A y B, representada como f: A → B, es cualquier ley o criterio que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B.

Si a un elemento x ∈ A se le asocia un elemento y ∈ B, se dice que:

• “y es el elemento imagen de x en la correspondencia f”.
• “x es el elemento original de y en f”.

En ambos casos, se expresa como y = f(x).

Conceptos Clave en una Correspondencia f: A → B:

• Conjunto Inicial de f: Es el conjunto A.
• Conjunto Final de f: Es el conjunto B.
• Conjunto Original de f (o Dominio de Definición): Es el conjunto de todos los elementos de A que tienen al menos un elemento imagen en la correspondencia f. Se define como:
  Original(f) = {x ∈ A | ∃ y ∈ B, y = f(x)} ⊆ A.
• Conjunto Imagen de f (o Recorrido): Es el conjunto de todos los elementos de B que son imagen de al menos un elemento de A en la correspondencia f. Se define como:
  Im(f) = {y ∈ B | ∃ x ∈ A, y = f(x)} ⊆ B.

2. Casos Particulares de Correspondencias

2.1. Correspondencia Inversa

La correspondencia inversa de f: A → B es otra correspondencia f^-1: B → A que asocia a cada elemento de B el elemento de A que era su original en f. Es decir, f^-1(y) = x, siendo y = f(x).

2.2. Correspondencia Unívoca

Una correspondencia unívoca es aquella en la que a cada elemento del conjunto inicial se le asocia, a lo sumo, un único elemento del conjunto final. Es decir, los elementos que tienen imagen, tienen solo una.

2.3. Correspondencia Biunívoca

Una correspondencia biunívoca es aquella en la que los elementos del conjunto inicial que tienen imagen, tienen solo una, y los elementos del conjunto final que tienen original, tienen solo uno. Es decir, tanto la correspondencia como su inversa son unívocas.

3. Funciones

Una función es una correspondencia unívoca entre conjuntos numéricos.

En el contexto de funciones, se denomina:

• Dominio de f: Al conjunto original de f.
• Recorrido o Rango de f: Al conjunto imagen de f.

4. Aplicaciones

4.1. Definición de Aplicación

Dados dos conjuntos A y B, se llama aplicación f entre A y B, y se representa f: A → B, a cualquier correspondencia en la que todo elemento del conjunto inicial tiene una única imagen. En una aplicación, el conjunto inicial coincide con el conjunto original.

Se simboliza como: ∀x ∈ A, ∃! y ∈ B, y = f(x).

4.2. Tipos de Aplicaciones

4.2.1. Aplicación Inyectiva

Una aplicación es inyectiva si elementos distintos del conjunto inicial tienen siempre imágenes distintas. Es decir:

x ≠ y ⇒ [f(x) ≠ f(y)] o, equivalentemente, [f(x) = f(y)] ⇒ [x = y].

4.2.2. Aplicación Suprayectiva (o Sobreyectiva)

Una aplicación f: A → B es suprayectiva si todo elemento del conjunto final tiene al menos un elemento original. Esto significa que el conjunto imagen de f coincide con el conjunto final B.

∀y ∈ B, ∃x ∈ A, f(x) = y ⇔ Im(f) = B.

4.2.3. Aplicación Biyectiva

Una aplicación es biyectiva si es simultáneamente inyectiva y suprayectiva. Esto implica que existe una correspondencia uno a uno entre los elementos de A y B.

5. Composición de Aplicaciones

5.1. Definición

Dadas dos aplicaciones f: A → B y g: B → C, se llama aplicación composición de f con g, y se representa g ∘ f, a la aplicación g ∘ f: A → C definida de la siguiente forma:

∀x ∈ A, (g ∘ f)(x) = g(f(x)).

5.2. Condiciones para la Composición

• Una condición suficiente para que se puedan componer f con g es que el conjunto final de f esté incluido en el conjunto inicial de g.
• Una condición necesaria y suficiente para que se puedan componer f con g es que el conjunto imagen de f esté incluido en el conjunto original de g.

5.3. Propiedades de la Composición de Aplicaciones

1. No es Conmutativa: En general, g ∘ f ≠ f ∘ g.
2. Es Asociativa: Siendo f: A → B, g: B → C y h: C → D, entonces h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f.
3. La composición de dos aplicaciones inyectivas es siempre otra aplicación inyectiva.
4. La composición de dos aplicaciones suprayectivas es siempre otra aplicación suprayectiva.
5. La composición de dos aplicaciones biyectivas es siempre otra aplicación biyectiva.

6. Aplicación Inversa

6.1. Definición de Aplicación Inversa

Dada una aplicación biyectiva f: A → B, llamamos aplicación inversa de f, y la representamos f^-1: B → A, a la aplicación que asocia a cada elemento de B el elemento de A que era su original en f. Es decir, ∀y ∈ B, f^-1(y) = x, siendo y = f(x).

6.2. Propiedades de la Aplicación Inversa

1. La aplicación inversa de una aplicación biyectiva es siempre otra aplicación biyectiva.
2. Siendo f: A → B una aplicación biyectiva, la aplicación inversa de f^-1 es la aplicación f: (f^-1)^-1 = f.
3. Siendo f: A → B y g: B → C dos aplicaciones biyectivas, entonces (g ∘ f)^-1 = f^-1 ∘ g^-1.