Conceptos Fundamentales de Cinemática y Álgebra Vectorial

Producto Escalar

El producto escalar de dos vectores, a y b, es un número escalar que se obtiene al multiplicar el módulo de a por el módulo de b y por el coseno del ángulo que forman ambos vectores. Se representa con un punto (·) y su fórmula es:

a · b = |a| |b| cos(α)

• Condición de perpendicularidad: Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero. Esto se debe a que cos(90°) = 0. Matemáticamente, se expresa como: a ⊥ b ↔ a · b = 0
• Ángulo entre vectores: El coseno del ángulo entre dos vectores se puede calcular como: cos(α) = (a · b) / (|a| |b|)

Producto Vectorial

El producto vectorial de dos vectores, a y b, es otro vector que tiene las siguientes características:

• Módulo: |a x b| = |a| |b| sen(α)
• Dirección: Perpendicular al plano que forman a y b.
• Sentido: Se determina por la regla de la mano derecha.

Vectores Posición, Velocidad y Aceleración Instantáneos

• Posición: El vector de posición de un cuerpo con respecto a un punto de referencia queda definido por el vector que une dicho punto de referencia con el lugar ocupado por el cuerpo. Su unidad en el Sistema Internacional es el metro (m). Se puede expresar como r = xi + yj en el plano, y con una componente adicional en el espacio tridimensional.

• Velocidad: La velocidad es la rapidez con la que cambia la posición de un cuerpo. Su unidad es el metro por segundo (m/s). La velocidad media se calcula como: v = (r - r₀) / (t - t₀). La velocidad instantánea se define como la velocidad media en el límite en que el intervalo de tiempo tiende a cero. Se obtiene al derivar la ecuación de posición respecto al tiempo.

• Aceleración: La aceleración de un cuerpo mide la rapidez con la que varía su velocidad. Se expresa como: a = Δv / Δt = (v_f - v₀) / (t_f - t₀). Se mide en metros por segundo al cuadrado (m/s²). La aceleración instantánea es la aceleración media en el límite en que el intervalo de tiempo tiende a cero. Se obtiene derivando la velocidad respecto al tiempo.

Componentes Intrínsecas de la Aceleración

• Aceleración Tangencial (a_t): Produce cambios en el módulo de la velocidad.

  • Módulo: Equivale a la rapidez con la que cambia el módulo de la velocidad.
  • Dirección: Tangente a la trayectoria en cada punto.
  • Sentido: El mismo que el del movimiento si el módulo de la velocidad aumenta, y contrario al movimiento si el módulo de la velocidad disminuye.

• Aceleración Normal (a_c): Aparece en movimientos curvilíneos y produce cambios en la dirección de la velocidad sin afectar su módulo.

  • Módulo: Se determina dividiendo el cuadrado del valor de la velocidad entre el radio de la curva descrita.
  • Dirección: Radial.
  • Sentido: Siempre hacia el centro de la curvatura.

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

En el MRU, la velocidad es constante y la aceleración es nula. La ecuación que describe la posición en función del tiempo es:

x = x₀ + vt

Donde:

• x₀ es la posición inicial.
• v es la velocidad constante.
• t es el tiempo.

Gráficas:

• Aceleración vs. tiempo: Una línea horizontal en a = 0.
• Velocidad vs. tiempo: Una línea horizontal en v = constante.
• Posición vs. tiempo: Una línea recta con pendiente igual a la velocidad.

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)

En el MRUA, la aceleración es constante. Las ecuaciones que describen el movimiento son:

• Ecuación de la velocidad: v = v₀ + at
• Ecuación de la posición: x = x₀ + v₀t + (1/2)at²

Donde:

• v₀ es la velocidad inicial.
• a es la aceleración constante.

Casos especiales:

• Caída libre: v = gt; y = (1/2)gt² (considerando g como la aceleración debida a la gravedad).
• Lanzamiento vertical hacia arriba: v = v₀ - gt; y = y₀ + v₀t - (1/2)gt²

Gráficas:

• Aceleración vs. tiempo: Una línea horizontal en a = constante.
• Velocidad vs. tiempo: Una línea recta con pendiente igual a la aceleración.
• Posición vs. tiempo: Una parábola.