Conceptos Fundamentales de Cálculo Diferencial: Límites, Derivadas y Aplicaciones

Límite de una función

Límite: se dice que la función f tiende al número L cuando x tiende al número a, si y solo si para cualquier número positivo ε (épsilon), existe un número positivo δ (delta) tal que la diferencia entre la función y su límite debe poder hacerse tan pequeña como se quiera.

Operaciones para calcular un límite

Para calcular un límite existen las siguientes operaciones:

• Pasar al límite: es sustituir en la función la variable independiente por el valor al cual tiende y efectuar las operaciones indicadas.
• Levantar la indeterminación: cuando al reemplazar en la función la variable x por el valor al cual tiende obtenemos uno de los siguientes resultados: 0/0, ∞/∞, 0 · ∞, etc. Diremos que hemos llegado a una indeterminación que, en algunos casos, mediante simples transformaciones o algún método, es posible encontrar otra función que coincida con la dada para todo x distinto de a.

Incremento relativo y cociente incremental

Incremento relativo: el incremento medio de la función en el intervalo (x; x + Δx) es el cociente entre el incremento absoluto de la función y el de la variable; o sea: Δy / Δx = Δf(x) / Δx. También lo llamaremos cociente incremental.

El incremento relativo de la función en el mismo intervalo es el cociente entre el incremento absoluto de la función y la función primitiva; o sea: Δy / f(x) = Δf(x) / f(x).

El Diferencial

El cálculo del diferencial se reduce al cálculo de la derivada, ya que basta multiplicarla por dx para obtener el diferencial. Ejemplo: f(x) = sen x => dy = cos x · dx.

Recta Tangente y Recta Normal

Recta Tangente

Se puede definir a la recta tangente a una circunferencia como la perpendicular al radio en su extremo. Para determinar la ecuación de la recta tangente se considera la ecuación de las rectas que pasan por este punto: y - f(x₀) = a_t(x - x₀). Reemplazando a_t = f'(x₀) obtenemos la ecuación de la recta tangente: y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀).

Recta Normal

Para la ecuación de la recta normal, se llama así porque es perpendicular a la recta tangente de dicho punto. Ecuación de la recta normal: y = f(x₀) - 1 / f'(x₀)(x - x₀).

Teorema de Rolle

Teorema de Rolle: si una función es continua en el intervalo cerrado [a; b] y derivable en el intervalo abierto (a; b), y si f(a) = f(b), existe por lo menos un punto c en el intervalo abierto en que f'(c) = 0.

Extremos de una Función

Máximo y Mínimo Absoluto

• Máximo absoluto: una función escalar definida en un conjunto tiene un máximo absoluto si existe por lo menos un punto c tal que el valor de la función en ese punto no es superado por ningún otro punto.
• Mínimo absoluto: el valor de f(c) es el mínimo de la función f si f(c) no supera ninguno de los valores que alcanza la función.

Extremos Relativos

• Máximo relativo: la función f tiene un máximo relativo en el punto x₀ si y solo si existe un entorno de x₀ tal que el valor f(x₀) no es superado por ninguno de los valores que toma f en cualquier punto de ese entorno.
• Mínimo relativo: una función f definida en el dominio D presenta un mínimo relativo si existe un entorno de x₀ en el que el valor de f no supera a ninguno de los valores que asume f en cualquier punto de ese entorno.

Extremos Absolutos y Locales

Si el máximo o el mínimo absoluto corresponden a una función derivable y la función alcanza dichos valores en puntos interiores al intervalo considerado, entonces los extremos absolutos son también extremos locales.

Concavidad y Punto de Inflexión

Concavidad

El signo de la derivada segunda está vinculado con la concavidad del gráfico:

• La curva es cóncava hacia arriba si y solo si existe un entorno reducido del punto x₀ donde la curva está por encima de la recta tangente.
• Es cóncava hacia abajo si y solo si existe un entorno reducido del punto x₀ donde la curva está por debajo de la recta tangente.

Punto de Inflexión

Es un punto de inflexión si y solo si la curva cambia el sentido de su concavidad. En el punto de inflexión, la tangente atraviesa a la curva en dicho punto; de modo que a un lado del punto de inflexión la curva está por debajo de la tangente y hacia el otro lado por encima de ella.