Conceptos Fundamentales de Cálculo Diferencial

Orden de Infinitos (Mayor a Menor)

x^x, e^x, xⁿ, log x

Recta Tangente

y - f(a) = f'(a) (x-a)

Recta Normal

y - f(a) = -1/f'(a) (x-a)

Asíntotas

Asíntota Vertical (AV)

Se encuentra en los puntos donde la función no está definida (dominio) y al sustituir se obtiene un valor infinito.

Asíntota Horizontal (AH)

Existe si el límite de la función cuando x tiende a ±∞ es un valor finito (L). Si hay AH, no hay asíntota oblicua (AO). Si no hay AH, puede haber AO.

Asíntota Oblicua (AO)

Tiene la forma y = mx + n, donde:

• m = lim_x→±∞ f(x)/x
• n = lim_x→±∞ (f(x) - mx)

Existe si m es un valor finito y distinto de cero, y n es un valor finito.

Teorema de Bolzano

• Aplicable sin necesidad de derivar.
• Útil para demostrar la existencia de al menos una solución.
• La función f(x) debe ser continua en el intervalo cerrado [a, b].
• El signo de f(a) debe ser distinto al signo de f(b) (f(a) * f(b) < 0).

Si se cumplen estas condiciones, existe al menos un valor c en el intervalo abierto (a, b) tal que f(c) = 0.

Teorema de Rolle

• Permite encontrar soluciones dentro del intervalo abierto (a, b).
• La función f(x) debe ser continua en el intervalo cerrado [a, b].
• La función f(x) debe ser derivable en el intervalo abierto (a, b).
• Se debe cumplir que f(a) = f(b).

Si se cumplen las condiciones anteriores, existe al menos un valor c en el intervalo abierto (a, b) tal que f'(c) = 0.

Para encontrar el valor de c, se deriva la función, se iguala a cero y se resuelve la ecuación.

Tasa de Variación Media

• No requiere derivación.
• Se calcula como: (f(b) - f(a)) / (b - a)