Conceptos Matemáticos Esenciales

Este documento recopila definiciones y propiedades fundamentales en matemáticas, abarcando desde el valor absoluto hasta conceptos clave del cálculo diferencial e integral.

Valor Absoluto

El valor absoluto de un número real x, denotado como |x|, se define como:

• |x| = x, si x ≥ 0
• |x| = -x, si x < 0

Propiedad 1: Desigualdad con Valor Absoluto (Menor o Igual)

Si a ≥ 0, entonces |x| ≤ a &iff; -a ≤ x ≤ a.

Demostración

1. Por definición, x ≤ |x|. Dado que |x| ≤ a, por transitividad, se tiene que x ≤ a.
2. Por definición, -x ≤ |x|. De la hipótesis |x| ≤ a, multiplicando por -1, obtenemos -|x| ≥ -a. Como -x ≤ |x|, multiplicando por -1, se obtiene x ≥ -|x|. Combinando con -|x| ≥ -a, por transitividad, se deduce que x ≥ -a.

De los puntos 1 y 2, se concluye que -a ≤ x ≤ a.

Propiedad 2: Desigualdad con Valor Absoluto (Mayor o Igual)

Si a ≥ 0, entonces |x| ≥ a &iff; x ≥ a o x ≤ -a.

Demostración (Parte Directa)

• Si x ≥ 0, entonces |x| = x. La desigualdad |x| ≥ a se convierte en x ≥ a.
• Si x < 0, entonces |x| = -x. La desigualdad |x| ≥ a se convierte en -x ≥ a. Multiplicando por -1 (y cambiando el sentido de la desigualdad), obtenemos x ≤ -a.

Demostración (Parte Recíproca)

• Si x ≥ a (y como a ≥ 0, entonces x ≥ 0), |x| = x. Por lo tanto, |x| ≥ a.
• Si x ≤ -a (y como a ≥ 0, entonces -a ≤ 0, lo que implica x ≤ 0), |x| = -x. De x ≤ -a, multiplicando por -1, obtenemos -x ≥ a. Por lo tanto, |x| ≥ a.

En ambos casos, se cumple |x| ≥ a. Así, se demuestra que |x| ≥ a &iff; x ≥ a o x ≤ -a, para a ≥ 0.

Propiedad 3: Producto de Valores Absolutos

Para cualesquiera x, y ∈ ℜ, se cumple que |x · y| = |x| · |y|.

Demostración por Casos

• Caso 1: x ≥ 0, y ≥ 0. Entonces x · y ≥ 0.
  • |x · y| = x · y
  • |x| · |y| = x · y

  Por lo tanto, |x · y| = |x| · |y|.

• Caso 2: x > 0, y < 0. Entonces x · y < 0.
  • |x · y| = -(x · y)
  • |x| · |y| = x · (-y) = -(x · y)

  Por lo tanto, |x · y| = |x| · |y|.

• Caso 3: x < 0, y > 0. Entonces x · y < 0.
  • |x · y| = -(x · y)
  • |x| · |y| = (-x) · y = -(x · y)

  Por lo tanto, |x · y| = |x| · |y|.

• Caso 4: x < 0, y < 0. Entonces x · y > 0.
  • |x · y| = x · y
  • |x| · |y| = (-x) · (-y) = x · y

  Por lo tanto, |x · y| = |x| · |y|.

• Caso 5: Si x = 0 o y = 0, la igualdad es trivialmente cierta, ya que ambos lados de la ecuación serán 0.

Propiedad 4: Cociente de Valores Absolutos

Para cualesquiera a, b ∈ ℜ con b ≠ 0, se cumple que |a/b| = |a|/|b|.

Demostración

Sabemos que para cualquier número real a, |a| = √a².

Si a ∈ ℜ y b ∈ ℜ con b ≠ 0, entonces a/b ∈ ℜ.

Aplicando la definición de valor absoluto como raíz cuadrada de un cuadrado:

|a/b| = √(a/b)² = √(a²/b²) = √a² / √b² = |a|/|b|.

Por lo tanto, |a/b| = |a|/|b|.

Forma Canónica de una Función Cuadrática

Para una función cuadrática expresada en su forma canónica como f(x) = A(x ± α)² + β, el vértice de la parábola se ubica en el punto (h, k), donde h es el opuesto de ±α (es decir, si es (x + α), h = -α; si es (x - α), h = α) y k = β.

Definición de Derivada

La derivada de una función f en un punto a, denotada como f'(a), se define como el límite:

f'(a) = lim_x→a (f(x) - f(a))/(x - a)

siempre que este límite exista.

Deducción de la Integral (Suma de Riemann)

La integral definida de una función puede deducirse a partir de la suma de Riemann. Para una función f continua en un intervalo [0, a], la integral se aproxima por la suma:

S_n = (a/n) · [f(a/n) + f(2a/n) + ... + f(n·a/n)]

Esto se puede expresar usando la notación de sumatoria:

S_n = (a/n) · ∑_i=1ⁿ f(i · a/n)

Para encontrar el valor exacto de la integral, se toma el límite cuando n → ∞:

∫₀^a f(x) dx = lim_n→∞ (a/n) · ∑_i=1ⁿ f(i · a/n)

Para resolver estas sumatorias, a menudo se utilizan fórmulas conocidas, como la suma de los primeros n cuadrados: ∑_i=1ⁿ i² = n(n+1)(2n+1)/6. El objetivo es transformar la sumatoria para aplicar estas fórmulas y luego calcular el límite.

Definición Formal de Límite

Sea f: D → ℜ una función, y sea a un punto de acumulación de D.

Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es b (lim_x→a f(x) = b) si y solo si:

Para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que, si x ∈ D y 0 < |x - a| < δ, entonces |f(x) - b| < ε.

Definición de Punto de Acumulación

Un punto a ∈ ℜ es un punto de acumulación de un conjunto A ⊆ ℜ si y solo si:

Para todo δ > 0, el entorno reducido E*(a, δ) interseca a A en al menos un punto distinto de a. Es decir, E*(a, δ) ∩ A ≠ ∅.

Definición Formal de Continuidad

Una función f: D → ℜ es continua en un punto a ∈ D si y solo si:

Para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que, si x ∈ D y |x - a| < δ (es decir, x ∈ E(a, δ)), entonces |f(x) - f(a)| < ε (es decir, f(x) ∈ E(f(a), ε)).

Condición Necesaria y Suficiente para la Continuidad

Sea f: D → ℜ una función y a ∈ D un punto de acumulación de D.

La función f es continua en a si y solo si lim_x→a f(x) = f(a).

Demostración (Parte Directa: Si f es continua en a, entonces lim_x→a f(x) = f(a))

Por definición de continuidad en a, para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que si x ∈ E(a, δ) ∩ D, entonces f(x) ∈ E(f(a), ε).

Dado que a es un punto de acumulación, el entorno reducido E*(a, δ) ∩ D no es vacío. Además, E*(a, δ) ⊆ E(a, δ). Por lo tanto, para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que si x ∈ E*(a, δ) ∩ D, entonces f(x) ∈ E(f(a), ε). Esto es precisamente la definición de límite, es decir, lim_x→a f(x) = f(a).

Demostración (Parte Recíproca: Si lim_x→a f(x) = f(a), entonces f es continua en a)

Por definición de límite, si lim_x→a f(x) = f(a), entonces para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que si x ∈ E*(a, δ) ∩ D, entonces f(x) ∈ E(f(a), ε).

Además, sabemos que f(a) existe y f(a) ∈ E(f(a), ε) (ya que |f(a) - f(a)| = 0 < ε). Por lo tanto, si consideramos x ∈ E(a, δ) ∩ D, tenemos dos casos:

• Si x = a, entonces f(x) = f(a), y f(a) ∈ E(f(a), ε).
• Si x ≠ a, entonces x ∈ E*(a, δ) ∩ D, lo que implica f(x) ∈ E(f(a), ε) por la definición de límite.

En ambos casos, para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que si x ∈ E(a, δ) ∩ D, entonces f(x) ∈ E(f(a), ε). Esto es la definición de continuidad en a.