Conceptos Fundamentales de Álgebra, Trigonometría y Estadística Descriptiva

Conceptos Fundamentales de Matemáticas

I. Funciones y Rectas

Función Lineal

Una función lineal es aquella que tiene la forma $y = mx + b$, en donde $m$ representa la pendiente.

• Cuando la pendiente de una recta ($m$) es positiva, la gráfica es creciente.
• Cuando la pendiente de una recta ($m$) es negativa, la gráfica es decreciente.

Pendiente de una Recta

La pendiente de una recta se define como el cociente o división entre la variación del eje ($y$) y la variación del eje ($x$):

$$m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Relaciones entre Rectas

Rectas Paralelas

Geométricamente, 2 rectas son paralelas cuando mantienen una distancia fija entre ellas; es decir, por más que se extiendan, nunca se van a cruzar. Matemáticamente, son paralelas cuando tienen la misma pendiente ($m_1 = m_2$).

Rectas Perpendiculares

Geométricamente, 2 rectas son perpendiculares cuando se cruzan formando un ángulo de $90$ grados. Matemáticamente, 2 rectas son perpendiculares cuando las pendientes de las rectas son inversas con el signo contrario ($m_1 = -\frac{1}{m_2}$).

Función Exponencial

Una función exponencial es aquella que tiene la forma: $y = b^x$, en donde $b$ se conoce como base y puede ser cualquier número real positivo, y la variable independiente ($x$) se encuentra como exponente de la base.

II. Trigonometría y Sistemas de Coordenadas

Ángulos en el Plano Cartesiano

Ángulo en Posición Normal

Es un ángulo representado en un sistema de coordenadas ($x$ y $y$), conociendo uno de sus lados (lado inicial) sobre el eje ($x$) positivo.

Ángulo Cuadrantal

Es aquel que coincide con alguno de los ejes de coordenadas (es decir, su lado terminal está sobre el eje $x$ o el eje $y$).

Sistemas de Coordenadas

Sistema de Coordenadas Polares

Está compuesto por 2 ejes perpendiculares entre sí que dividen al plano en 4 partes. La ubicación de un punto está dada por la distancia desde el centro del eje de coordenadas hasta dicho punto (radio, $r$) y por un ángulo ($\theta$) medido en sentido positivo (antihorario).

Coordenadas Geográficas

Son aquellas que están compuestas por 2 ejes perpendiculares entre sí que dividen el plano en 4 partes (norte, sur, este, oeste). La posición de un punto está dada por la distancia desde el origen de coordenadas hasta dicho punto y por un ángulo medido desde los puntos cardinales.

Medición de Ángulos

Radianes

Son la unidad de medida de los ángulos en el Sistema Internacional.

Razones Trigonométricas

Son proporcionalidades que se mantienen en cualquier triángulo rectángulo:

• Seno (sen): Cateto opuesto sobre hipotenusa.
• Coseno (cos): Cateto adyacente sobre hipotenusa.
• Tangente (tan): Cateto opuesto sobre cateto adyacente.

Nota: Cuando se calcula la hipotenusa se suma (usando el teorema de Pitágoras), y cuando se calcula un cateto se resta.

III. Probabilidad y Estadística

Conceptos de Probabilidad

Probabilidad

Es el cociente o razón entre el número de casos favorables y el número de casos totales de un experimento.

Posibilidad

Es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos no favorables de un experimento.

Evento

Es el resultado de un experimento.

Tipos de Eventos según su Probabilidad

• Evento Cierto: Es aquel cuya probabilidad es del $100\%$.
• Evento Verosímil: Es aquel cuya probabilidad es más que el $50\%$ y menor al $100\%$.
• Evento Dudoso: Es aquel cuya probabilidad es del $50\%$.
• Evento Inverosímil: Es aquel cuya probabilidad es menor al $50\%$. (Se corrigió la mención de "mayor al 100%" que era inconsistente).
• Evento Imposible: Es aquel cuya probabilidad es del $0\%$.

Evento Aleatorio

Es aquel que al realizarse varias veces bajo las mismas condiciones iniciales aparentes se obtienen diferentes resultados o eventos.

Espacio Muestral

Es el conjunto de todos los posibles eventos que se pueden dar en un experimento.

Conteo y Ordenamiento

Permutación

Es un arreglo de $r$ objetos tomados de un conjunto de $n$ elementos, sin repetición.

Combinación

Es un arreglo de objetos tomados de un conjunto de $n$ elementos.

Nota: En las permutaciones sí importa el orden y en las combinaciones no.

Estadística Descriptiva

Estadística

Hace referencia al sistema o métodos para recolectar, organizar, presentar y procesar información.

Medidas de Tendencia Central

• Media Aritmética: Es el valor que representa a todos los elementos de un conjunto (el promedio).
• Mediana: Es el valor que está ubicado en la parte central de un conjunto de datos ordenado.
• Moda: Está representado por el valor que más se repite dentro de un conjunto de datos.

Medidas de Dispersión y Frecuencia

• Desviación: Es la medida de cuánto se alejan los valores de un conjunto de datos del valor promedio (media).
• Frecuencia: Número de veces que se presenta un valor.
• Frecuencia Acumulada: La suma de una frecuencia con sus frecuencias anteriores.
• Marca de Clase: Es el valor medio del intervalo.
• Rango: Es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor.