Conceptos Fundamentales de Álgebra: Monomios, Polinomios y Ecuaciones

Fundamentos de Álgebra

Expresión Algebraica

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras conectados por signos de operaciones aritméticas.

Monomio

Un monomio es la expresión más simple y está formada por productos entre letras y números. Los números se denominan coeficientes y las letras se denominan parte literal.

Características de un Monomio

1. El factor 1 no se coloca; se sobreentiende su existencia y solo se usa para sumar o restar coeficientes o exponentes.
2. El signo de multiplicación entre el coeficiente y la parte literal no se utiliza.
3. El exponente de la parte literal no se coloca cuando es igual a 1; se utiliza para determinar el grado del monomio.

Grado del Monomio

El grado del monomio es el número que resulta de la suma de los exponentes de la parte literal.

Monomios Semejantes

Son monomios semejantes aquellos que poseen partes literales idénticas.

Polinomio

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma y resta de dos o más monomios no semejantes.

Características de un Polinomio

1. Cada uno de los sumandos se denomina término.
2. Un término puede tener coeficiente y parte literal, o solo una de ellas.
3. Existen términos que solo tienen parte numérica, denominados término independiente.
4. Los polinomios también poseen grados.

Operaciones con Monomios

Suma y Resta de Monomios

Para la suma y resta de monomios, solo se pueden sumar o restar cuando estos son semejantes, dando como resultado un tercer monomio que tiene por coeficiente la suma o la resta de los coeficientes de los monomios anteriores, y la parte literal se mantiene.

Multiplicación de Monomios

Al multiplicar monomios, se obtendrá un tercer monomio que tiene como coeficiente el producto de los coeficientes anteriores y como parte literal el producto de las partes literales.

División de Monomios

La división de monomios dará como resultado un tercer monomio que tendrá como coeficiente el cociente de los coeficientes anteriores.

Igualdad y Ecuaciones

¿Qué es una Igualdad?

Una igualdad es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor numérico.

Ecuación

Una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas, llamadas incógnitas, y que solo se verifica (o es verdadera) para valores determinados. Las incógnitas se representarán con las letras x, y, z, u, v.

Identidad

Una identidad es una igualdad que se verifica para cualquier valor de las variables que la componen.

Miembros de una Ecuación

Los miembros de una ecuación son las expresiones que están a cada lado del signo de igualdad: la expresión a la izquierda es el 1er miembro y la expresión a la derecha es el 2do miembro.

Término

Los términos son todas las cantidades que están conectadas entre sí por un signo positivo o negativo dentro de una expresión.

Verificación de la Igualdad en Ecuaciones

La igualdad en una ecuación hace referencia a la verificabilidad de la misma, es decir, si los valores de las incógnitas hacen que ambos miembros sean iguales.

Tipos de Ecuaciones

Ecuación Numérica

Son ecuaciones que no tienen más letras que la incógnita.

Ecuación Literal

Es una ecuación que, además de poseer la incógnita, tiene otras letras que representan cantidades desconocidas.

Ecuaciones Enteras

Son ecuaciones donde ninguno de sus términos tiene denominador.

Ecuación Fraccionaria

Es una ecuación cuando alguno de sus términos tiene un denominador.

Grado y Soluciones de Ecuaciones

Grado de una Ecuación

El grado de una ecuación es el mayor exponente de la incógnita en la ecuación y representa la cantidad de valores verificables para dicha ecuación.

Raíces o Soluciones

Las raíces o soluciones son los valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación; es decir, sustituidos en el lugar de la incógnita, convierten la ecuación en una igualdad. Las ecuaciones de primer grado poseen una incógnita y, por tanto, solo tienen una solución o raíz.

Principios Fundamentales de las Ecuaciones

Axiomas Fundamentales

Si a cantidades iguales se les aplican operaciones iguales, los resultados serán iguales.

Reglas Derivadas

1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma la misma cantidad (+ o -), la igualdad subsiste.
2. Si a los dos miembros de una ecuación se les resta la misma cantidad (+ o -), la igualdad subsiste.
3. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica por la misma cantidad, la igualdad subsiste.
4. Si a los dos miembros de una ecuación se les divide por la misma cantidad (+ o -), la igualdad subsiste.
5. Si a los dos miembros de una ecuación se les eleva a la misma potencia o se les extrae la misma raíz, la igualdad subsiste.

Transposición de Términos

La transposición de términos consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro. Cualquier término de una ecuación puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo.