Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Transformaciones y Diagonalización

Transformaciones Lineales

Definición y Ejemplos

Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales que respeta la estructura algebraica. Es decir, cumple las siguientes propiedades:

1. Aditividad: T(u + v) = T(u) + T(v) (preserva la suma de vectores).

2. Homogeneidad: T(c·v) = c·T(v) (preserva el producto por escalares).

Ejemplos:

• T(x, y) = (2x, 3y) es una transformación lineal.

• T(x, y) = (x+1, y) no es lineal, porque la suma de la constante "+1" rompe la propiedad de homogeneidad (por ejemplo, T(c·x, c·y) = (c·x+1, c·y) que no es igual a c·T(x, y) = (c·x+c, c·y)).

Se puede pensar en T como una máquina que transforma vectores, estirándolos, rotándolos, proyectándolos, o realizando otras operaciones que mantienen la linealidad.

Imagen y Núcleo (Ker e Im)

Núcleo (Ker T)

El núcleo de una transformación lineal T (denotado Ker T) es el conjunto de todos los vectores del espacio de partida V que son transformados en el vector nulo 0 del espacio de llegada W:

Ker(T) = {v ∈ V | T(v) = 0}

Imagen (Im T)

La imagen de una transformación lineal T (denotada Im T) es el conjunto de todos los vectores del espacio de llegada W que son imagen de algún vector del espacio de partida V:

Im(T) = {w ∈ W | w = T(v) para algún v ∈ V}

Teorema del Rango-Nulidad

Un teorema fundamental en álgebra lineal establece la relación entre las dimensiones del espacio de partida, el núcleo y la imagen:

dim(V) = dim(Ker T) + dim(Im T)

Interpretación

• Si Ker T = {0}, entonces T es inyectiva (no colapsa información, vectores distintos tienen imágenes distintas).

• Si Im T = W, entonces T es sobreyectiva (todo el espacio de llegada es cubierto por la transformación).

Representación Matricial

Cuando se eligen bases para los espacios vectoriales, toda transformación lineal se puede representar con una matriz.

Por ejemplo, si T: ℝ² → ℝ² y T(x, y) = (3x + 2y, x − y), entonces:

• Puedes escribir la transformación T aplicada al vector (x, y) como una multiplicación de una matriz A por el vector (x, y):

  T ⎛ x ⎞ ⎜ y ⎝ = ⎛ 3   2 ⎞ ⎜ 1   -1 ⎝ ⎛ x ⎞ ⎜ y ⎝

Geometría

Transformaciones geométricas como rotaciones, reflejos, escalados y proyecciones se pueden escribir como matrices, lo que permite operar con ellas de manera algebraica.

Isomorfismos

Un isomorfismo es una transformación lineal invertible que cumple dos condiciones:

• Es inyectiva (Ker T = {0}).

• Es sobreyectiva (Im T es todo el espacio de llegada W).

Consecuencia

Si existe un isomorfismo entre dos espacios vectoriales V y W, significa que ambos espacios son esencialmente iguales en términos de su estructura algebraica.

Isometrías

Una isometría es una transformación que no cambia las distancias ni los ángulos entre vectores.

Ejemplos:

• Rotaciones

• Reflexiones

• La transformación identidad

Propiedades

Las isometrías cumplen las siguientes propiedades:

• Preservación de la norma (longitud): ‖T(v)‖ = ‖v‖

• Preservación del producto interno (ángulos): (T(u), T(v)) = (u, v)

Autovalores, Autovectores y Diagonalización

Valores y Vectores Característicos (Autovalores y Autovectores)

Definición

Dada una matriz cuadrada A de dimensión n x n:

• Un escalar λ es un valor característico (o autovalor, eigenvalue) si existe un vector v ≠ 0 tal que:
  A·v = λ·v

• El vector v es el vector característico (o autovector, eigenvector) correspondiente al valor característico λ.

En otras palabras, un autovector v es un vector no nulo que, al ser transformado por A, resulta en un múltiplo escalar de sí mismo, donde λ es ese escalar.

Cómo Encontrarlos

Para encontrar los valores característicos, se debe resolver la siguiente ecuación:

det(A − λI) = 0

Esta es una ecuación polinómica de grado n (si A es una matriz n x n), conocida como el polinomio característico. Sus raíces son los autovalores.

Ejemplo

Si A = ⎛ 2   1 ⎞ ⎜ 0   3 ⎝ , entonces el polinomio característico es:

det(A − λI) = (2 − λ)(3 − λ) = 0

Por lo tanto, los valores característicos son λ₁ = 2 y λ₂ = 3.

Modelo de Población (Opcional pero Interesante)

Este capítulo muestra cómo un sistema de población puede representarse como una matriz que transfiere individuos entre grupos (por edad, sexo, etc.).

• Si un vector describe la población de cada grupo en el año t, al multiplicarlo por una matriz de transición, se obtiene la población en el año t+1.

• El valor característico dominante de la matriz de transición indica si la población total crece, se mantiene estable o decrece a largo plazo.

Diagonalización

Una matriz A es diagonalizable si existen suficientes vectores propios linealmente independientes para formar una base del espacio vectorial.

Qué Significa

Si una matriz A es diagonalizable, existe una matriz P (formada por los autovectores de A como columnas) tal que:

P⁻¹ · A · P = D

donde D es una matriz diagonal que tiene los valores característicos de A en su diagonal principal.

¿Para Qué Sirve?

La diagonalización es una herramienta muy potente porque:

• Permite calcular potencias de A fácilmente:
  Aᵏ = P · Dᵏ · P⁻¹

• Es muy útil para resolver sistemas dinámicos, ecuaciones diferenciales, y para simplificar cálculos complejos en diversas áreas de la ciencia y la ingeniería.

Condición para Diagonalizar

• Si una matriz A tiene n valores propios distintos, entonces es seguro que es diagonalizable.

• Si hay valores propios repetidos, es necesario revisar si la multiplicidad algebraica de cada autovalor coincide con su multiplicidad geométrica (es decir, si hay n autovectores linealmente independientes en total).