Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal y Relaciones Binarias

Conceptos de Espacios Vectoriales

Sistema Generador

Se dice que un conjunto de vectores {e₁, e₂, ..., eₙ} es un sistema generador de E si cualquier vector de E se puede expresar como una combinación lineal de e₁, e₂, ..., eₙ.

Teorema de la Base

Sea E un subespacio vectorial (SEV) de dimensión finita n; cualquier conjunto de E formado por n vectores libres es una base de E. Si un conjunto es libre y tiene el número adecuado de vectores, entonces es generador.

Unión de Subespacios

Se define la unión de subespacios vectoriales como el subconjunto formado por los vectores de E que pertenecen a U o a V.

Aplicaciones Lineales y Endomorfismos

Aplicación Lineal

Se dice que f: E₁ → E₂ es una aplicación lineal de E₁ y E₂ si para cada vector x de E₁ existe un único vector y de E₂ (imagen de x), tal que f(x) = y, cumpliendo las propiedades de linealidad.

Valor Propio y Vector Propio

Sea f: E → E un endomorfismo de un espacio vectorial cualquiera, se dice que λ ∈ ℝ (lambda) es un valor propio de f si existe un vector e ∈ E distinto de 0 tal que f(e) = λe. En ese caso, se dice que el vector e es un vector propio de f asociado al valor propio λ.

Polinomio Característico

Sea f: E → E un endomorfismo de un espacio vectorial cualquiera y sea A la matriz asociada a f en una base cualquiera, entonces se llama polinomio característico de A al determinante |A - xI|. La ecuación característica es el resultado de igualar dicho polinomio a cero.

Diagonalización de Endomorfismos

Sea f: E → E un endomorfismo de un espacio vectorial cualquiera, se dice que f es diagonalizable si existe una base de E en la que la matriz asociada a f es diagonal. Se verifica que A = P · D · P⁻¹, siendo D la matriz diagonal.

Teorema de Diagonalización

Sea f: E → E un endomorfismo de un espacio vectorial cualquiera y sea A la matriz asociada a f en una base cualquiera de E, se establecen las condiciones bajo las cuales f es diagonalizable.

Relaciones Binarias y Estructuras

Relación Binaria

Se define como todo subconjunto del producto cartesiano de A × A. El producto cartesiano es el conjunto de pares ordenados formados por un elemento de A y otro de B.

Propiedades de las Relaciones:

• Reflexiva: xRx para todo x.
• Simétrica: Si xRy, entonces yRx.
• Transitiva: Si xRy y yRz, entonces xRz.
• Antisimétrica: Si xRy y yRx, entonces x = y.

Tipos de Relaciones:

• Relación de equivalencia: Aquella que es reflexiva, simétrica y transitiva.
• Relación de orden: Aquella que es reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Clase de Equivalencia

Dados un conjunto A y una relación binaria de equivalencia R, se define la clase de equivalencia [x] como el conjunto formado por todos los elementos de A que están relacionados con x.

Conjunto Cociente

Se llama así al conjunto formado por todas las clases de equivalencia posibles en A bajo la relación R.

Demostraciones Matemáticas

Demostración: Aplicación Epiyectiva y Sistema Generador

Si {e₁, e₂, ..., eₙ} es un sistema generador de E, entonces para todo u ∈ E se cumple que u = λ₁e₁ + λ₂e₂ + ... + λₙeₙ.

Aplicando la función: f(u) = f(λ₁e₁ + ... + λₙeₙ). Por linealidad: f(u) = f(λ₁e₁) + f(λ₂e₂) + ... + f(λₙeₙ) → f(u) = λ₁f(e₁) + ... + λₙf(eₙ).

Por ser epiyectiva (sobreyectiva), existe un v ∈ E' tal que f(u) = v para todo u ∈ E. Por lo tanto, v = λ₁f(e₁) + ... + λₙf(eₙ) para todo v ∈ E', lo que demuestra que {f(e₁), ..., f(eₙ)} es un sistema generador de E'.

Demostración: Matriz Asociada y dim(Im f) = Rango(A)

Los vectores {f(e₁), f(e₂), ..., f(eₙ)} pertenecientes a E' son las columnas de la matriz asociada a f en una base B. La dimensión de la imagen, dim(Im f), será el número de vectores que sean linealmente independientes, lo cual es, por definición, el número de columnas linealmente independientes de A; es decir, el rango de A.