Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal y Optimización: Ecuaciones, Programación Lineal y Entera, Método Simplex y Teoría de Errores

Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal y Optimización

Sistema de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones donde cada ecuación es de primer grado) definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.

Programación Lineal

La programación lineal es el campo de la programación matemática dedicada a maximizar o minimizar (optimizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante un sistema de ecuaciones o inecuaciones también lineales. El método tradicionalmente usado para resolver problemas de programación lineal es el método simplex.

Método Simplex

El método simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables. En otras palabras, es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso.

Minimización

La definición estándar del método simplex se enfoca en la maximización de una función objetivo en un problema de programación lineal (PL). Para utilizarlo en problemas de minimización, existen dos posibles aproximaciones (se asume que se refiere a 'enfoques' o 'alternativas').

Algoritmos de Aproximación

Un algoritmo de aproximación es un algoritmo usado para encontrar soluciones aproximadas a problemas de optimización. Están a menudo asociados con problemas NP-Hard. Como es improbable que alguna vez se descubran algoritmos eficientes de tiempo polinómico que resuelvan exactamente problemas NP-Hard, se opta por encontrar soluciones *subóptimas* en tiempo polinómico.

Teoría de Errores

Dado que el valor de las magnitudes físicas que intervienen en una experiencia dada, obtenidas por medidas (ya sean directas o indirectas, a través de los valores medios de otras magnitudes ligadas con la magnitud problema mediante una fórmula física), viene siempre afectado de imprecisiones (debido a imperfecciones del aparato de medida o a las limitaciones impuestas por nuestros sentidos), debe aceptarse el hecho de que no es posible conocer el valor exacto de ninguna magnitud. Cualquier resultado numérico obtenido experimentalmente debe presentarse siempre acompañado de un número que indique cuánto puede alejarse este resultado del valor exacto. El principal objetivo de la denominada teoría de errores consiste en acotar el valor de dichas imprecisiones, denominadas errores experimentales.

Tipos de Errores

• Errores Sistemáticos: Son errores que se repiten constantemente en el transcurso de un experimento.
• Errores Estadísticos: Se generan al hacer dos o más mediciones.
• Errores Accidentales: Son variaciones que aparecen entre observaciones sucesivas realizadas por un mismo operador.

Programación Entera

La programación entera es aquella cuya solución óptima tiene sentido solamente si una parte o todas las variables de decisión toman valores restringidos a números enteros, permitiendo incorporar en el modelamiento matemático algunos aspectos que quedan fuera del alcance de los modelos de programación lineal.

Clasificación de la Programación Entera

• Mixta (PEM): Se refiere a aquellos problemas de optimización que consideran variables de decisión enteras o binarias, pero no de forma exclusiva.
• Pura (PEP): Considera exclusivamente variables de decisión que adoptan valores enteros o binarios.