Conceptos Fundamentales de Álgebra Abstracta: Teorema de Euler y Productos de Anillos

Teorema de Euler

Recordemos el concepto de grupo abeliano.

Definición 2

Un grupo es un conjunto G junto con una operación binaria · : G × G → G satisfaciendo las siguientes propiedades:

• Asociativa: Para cualesquiera tres elementos x, y, z de G, se cumple que x(yz) = (xy)z.
• Elemento neutro: Existe un elemento e en G que verifica xe = ex = x para cualquier elemento x de G.
• Elemento inverso: Para cada elemento x de G, existe un inverso x⁻¹ verificando que xx⁻¹ = x⁻¹x = e.

El grupo se llama abeliano si satisface la propiedad conmutativa: xy = yx.

Productos de Anillos y la Función de Euler

Si R y S son dos anillos, entonces R × S se puede convertir en un anillo definiendo las operaciones:

• (r, s) + (r', s') = (r + r', s + s')
• (r, s)(r', s') = (rr', ss')

Se pueden verificar todas las propiedades necesarias para que R × S sea un anillo. El elemento neutro de la suma es (0, 0) y el de la multiplicación es (1, 1).

Si R y S son conmutativos, entonces R × S es también conmutativo.

Proposición 3

1. (a, b) en R × S es una unidad si y solo si a es una unidad en R y b es una unidad en S.
2. (a, b) en R × S es un divisor de cero si y solo si (a, b) (0, 0) y (a = 0 o a es un divisor de cero en R) y (b = 0 o b es un divisor de cero en S).

Definición 3

Una aplicación entre dos anillos f : R → S es un homomorfismo de anillos si verifica:

• i) f(x + y) = f(x) + f(y)
• ii) f(xy) = f(x)f(y)
• iii) f(1_R) = 1_S

Si el homomorfismo de anillos es biyectivo, lo llamaremos un isomorfismo.

Teorema 5

Sea m = rs donde r y s son números naturales 2 primos relativos. Entonces existe un isomorfismo de anillos:

φ: Z/mZ → Z/rZ × Z/sZ

dado por φ([a]_m) = ([a]_r, [a]_s).

Demostración

La función φ está bien definida. Si [a]_m = [b]_m, entonces [a]_r = [b]_r y [a]_s = [b]_s puesto que r y s dividen a m.

Se puede verificar fácilmente que es un homomorfismo de anillos.

Veamos que φ es inyectiva. Si φ([x]_m) = φ([y]_m), entonces ([x]_r, [x]_s) = ([y]_r, [y]_s), es decir, [x]_r = [y]_r y [x]_s = [y]_s. Entonces r y s dividen a x - y. Y como r y s son primos relativos, rs = m divide a x - y. Es decir, [x]_m = [y]_m, y la aplicación es inyectiva. Tenemos una aplicación inyectiva entre dos conjuntos de m elementos. Por lo tanto, también es sobreyectiva.

Corolario 2 (Teorema Chino del Resto)

El sistema de congruencias:

x a₁ (mod r)

x a₂ (mod s)

tiene solución.

Definición 4

Si f : G → H es una aplicación entre dos grupos G y H, decimos que f es un homomorfismo de grupos si f(xy) = f(x)f(y) para cualesquiera x, y de G.

Si además f es biyectiva, entonces f se llamará un isomorfismo.

Proposición 4

Si f : R → S es un isomorfismo de anillos, entonces la restricción de f al grupo de las unidades de R, U(R), f : U(R) → U(S) es también un isomorfismo, donde U(S) denota las unidades de S.

Demostración

Si x es una unidad de R, entonces xx' = 1_R. Aplicando f, se tiene f(x)f(x') = f(1_R) = 1_S, luego f(x) es una unidad de S. Es decir, la restricción va de U(R) a U(S).

Veamos que es sobreyectiva. Sea u ∈ S una unidad, entonces uu' = 1_S. Como f es sobreyectiva, existirán r y r' en R tales que f(r) = u y f(r') = u'. Entonces f(r)f(r') = uu' = 1_S, es decir, f(rr') = 1_S. Pero como f(1_R) = 1_S y f es inyectiva, se sigue que rr' = 1_R. Así, r es una unidad y la restricción también es sobreyectiva.

Corolario 3 (φ es multiplicativa)

Si m = rs con r, s primos relativos, entonces φ(m) = φ(r)φ(s).

Demostración

Sabemos que φ : Z/mZ → Z/rZ × Z/sZ es un isomorfismo. Luego, la restricción φ : U(Z/mZ) → U(Z/rZ × Z/sZ) es también biyectiva. Por otro lado, hemos probado que U(Z/rZ × Z/sZ) = U(Z/rZ) × U(Z/sZ). Si contamos los elementos de cada grupo de unidades, obtenemos el resultado.