Conceptos Esenciales de Trigonometría: Seno, Coseno y Tangente

Conceptos Fundamentales de Trigonometría

Definiciones Clave

Tangente: Segmento comprendido desde el punto A (1, 0) hasta la intersección de la prolongación del radio vector con la recta tangente a la circunferencia goniométrica en (1, 0). Se representa como AT = tg α.

Radián: Es la medida del ángulo cuyo arco comprendido mide lo mismo que el radio de la circunferencia.

Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo (0° a 90°)

Las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de un ángulo agudo, α, se definen a partir de un triángulo rectángulo ABC:

Relaciones Trigonométricas Fundamentales

Entre las razones trigonométricas existen las siguientes relaciones fundamentales:

1. sen²x + cos²x = 1
2. tg x = sen x / cos x
3. 1 + tg²x = 1 / cos²x

Demostración de las Relaciones Fundamentales

I. Demostración de sen²x + cos²x = 1

Aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo ABC, tenemos: b² + c² = a².

• Dividiendo ambos miembros por a²: b²/a² + c²/a² = 1
• Por propiedades de las potencias: (b/a)² + (c/a)² = 1
• Por la definición de seno y coseno: cos²x + sen²x = 1

II. Demostración de 1 + tg²x = 1 / cos²x

Partimos de la relación fundamental I: cos²x + sen²x = 1.

• Dividiendo todos los términos por cos²x: (cos²x / cos²x) + (sen²x / cos²x) = 1 / cos²x
• Simplificando, obtenemos: 1 + tg²x = 1 / cos²x

Razones Trigonométricas para Cualquier Ángulo (0° a 360°)

Para definir las razones trigonométricas de ángulos mayores que 90°, utilizamos la circunferencia goniométrica, que es una circunferencia de radio 1 centrada en el origen de coordenadas. Los ángulos se sitúan sobre ella de la siguiente forma:

• Su vértice se coloca en el centro (0,0).
• Uno de sus lados coincide con el semieje positivo de las X.
• El otro lado se abre en el sentido contrario al de las agujas del reloj.

La circunferencia queda dividida en cuatro cuadrantes:

• Primer cuadrante: 0° a 90°
• Segundo cuadrante: 90° a 180°
• Tercer cuadrante: 180° a 270°
• Cuarto cuadrante: 270° a 360°

Seno y Coseno de un Ángulo entre 0° y 360°

Sea φ un ángulo cualquiera entre 0° y 360°. Al situarlo sobre la circunferencia goniométrica, su segundo lado corta la circunferencia en un punto P. Las coordenadas de este punto se identifican con el coseno y el seno del ángulo: P(cos φ, sen φ).

Se cumple la relación fundamental I: sen²φ + cos²φ = 1.

Signos de las razones según el cuadrante:

• Seno: Positivo arriba (cuadrantes I y II), negativo abajo (cuadrantes III y IV).
• Coseno: Positivo a la derecha (cuadrantes I y IV), negativo a la izquierda (cuadrantes II y III).

Tangente de un Ángulo entre 0° y 360°

Situamos el ángulo sobre la circunferencia goniométrica. Trazamos una recta t que es tangente a la circunferencia en el punto U(1, 0). La prolongación del segundo lado del ángulo corta a la recta t en un punto T. La tangente del ángulo es igual a la longitud del segmento UT, con el signo correspondiente (+ por encima del eje X, – por debajo).

Se cumple la relación fundamental II: tg x = sen x / cos x.

Nota: Los ángulos de 90° y 270° no tienen tangente, ya que su coseno es 0 y la división por cero no está definida.

Ángulos Fuera del Intervalo de 0° a 360°

Ángulos Mayores de 360°

Cualquier ángulo, sin importar su amplitud, tiene un ángulo coterminal equivalente en el intervalo [0°, 360°). Esto se debe a que dar una vuelta completa (360°) nos devuelve a la misma posición. La relación es: α_equivalente = α + 360° · n, donde n es un número entero (positivo o negativo).

Ángulos Negativos

Un ángulo negativo se mide en el sentido de las agujas del reloj. Por ejemplo, un ángulo de 300° puede expresarse como un ángulo negativo: 300° – 360° = –60°. Los ángulos situados en los cuadrantes III y IV (entre 180° y 360°) pueden designarse con una medida negativa, comúnmente en el intervalo (–180°, 180°].

Si 0°

Teorema de los Senos

En un triángulo cualquiera de lados a, b, c, y de ángulos opuestos A, B, C, se cumplen las siguientes igualdades: