Conceptos Esenciales y Teoremas Fundamentales del Cálculo Diferencial e Integral

Conceptos Esenciales y Teoremas Fundamentales del Cálculo

Este documento recopila y explica de manera concisa algunos de los teoremas y definiciones más importantes en el ámbito del cálculo diferencial e integral, así como otros conceptos matemáticos clave. Es una referencia rápida para estudiantes y profesionales que buscan comprender los pilares del análisis matemático.

Teoremas Fundamentales del Cálculo Diferencial e Integral

Teorema de Weierstrass

Sea f : [a, b] → ℝ una función continua. Entonces, f alcanza su máximo y su mínimo en [a, b]. Es decir, existen dos puntos c, d ∈ [a, b] tales que:

• f(c) = min{f(x) : x ∈ [a, b]}, o bien f(c) ≤ f(x) para todo x ∈ [a, b].
• f(d) = max{f(x) : x ∈ [a, b]}, o bien f(d) ≥ f(x) para todo x ∈ [a, b].

Teorema de Bolzano

Sea f : [a, b] → ℝ una función continua tal que f(a)f(b) < 0. Entonces, existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0 (c es un cero de f).

Teorema del Punto Fijo

Sea f : [a, b] → [a, b] una función continua. Entonces f tiene, al menos, un punto c ∈ [a, b] tal que f(c) = c. Estos puntos se llaman puntos fijos de f.

Demostración:

Notar que si f : [a, b] → [a, b], entonces f(a), f(b) ∈ [a, b]. Luego, a ≤ f(a) y f(b) ≤ b.

Así, si definimos la función auxiliar g(x) = f(x) - x, que es continua en [a, b], esta función verifica que g(a) = f(a) - a ≥ 0 y g(b) = f(b) - b ≤ 0.

• Si g(a) = 0, entonces f(a) = a (a es un punto fijo).
• Si g(b) = 0, entonces f(b) = b (b es un punto fijo).

En otro caso, g(a)g(b) < 0 y, por el Teorema de Bolzano, existe un c ∈ (a, b) tal que g(c) = 0 y, por lo tanto, f(c) = c.

Teorema de la Regla de la Cadena

Sea f : X ⊆ ℝ → ℝ diferenciable en a, punto interior de X, y sea g : f(X) → ℝ diferenciable en f(a), punto interior de f(X).

Entonces, la función compuesta g ∘ f es diferenciable en a y su derivada es:

(g ∘ f)´(a) = g´(f(a))f´(a) (Regla de la Cadena)

Demostración:

La función g ∘ f será diferenciable en a si existe el límite de su cociente de Newton:

(g ∘ f)´(a) = lim_x→a (g(f(x)) - g(f(a))) / (x - a)

Podemos reescribir el límite multiplicando y dividiendo por (f(x) - f(a)):

lim_x→a (g(f(x)) - g(f(a))) / (f(x) - f(a)) * (f(x) - f(a)) / (x - a)

Si y = f(x), cuando x→a, y→f(a) (por la continuidad de f). Así, el límite se descompone en:

lim_y→f(a) (g(y) - g(f(a))) / (y - f(a)) * lim_x→a (f(x) - f(a)) / (x - a)

Que por definición de derivada es:

g´(f(a)) * f´(a)

Ejemplo (Regla de la Cadena):

Si f(x) = sen(x²), su derivada es f´(x) = cos(x²) * 2x.

Teorema de Rolle

Sea f : [a, b] → ℝ una función continua en [a, b], diferenciable en (a, b) y tal que f(a) = f(b). Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f´(c) = 0. Estos valores c se llaman puntos críticos de f.

Demostración:

Si f es continua en [a, b], el Teorema de Weierstrass garantiza que f alcanza su máximo y su mínimo en [a, b]. Sean c_max y c_min los puntos donde se alcanzan el máximo y el mínimo, respectivamente.

• Si el máximo o el mínimo se alcanzan en puntos del interior (a, b), entonces un teorema sobre extremos locales asegura que f´(c_max) = 0 o que f´(c_min) = 0.
• En otro caso, si los extremos se alcanzan solo en los puntos a o b, y como f(a) = f(b), la función f debe ser constante en [a, b]. En este caso, f´(x) = 0 para todo x ∈ (a, b).

En ambos escenarios, existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f´(c) = 0.

Teorema del Valor Medio de Lagrange

Sea f : [a, b] → ℝ una función continua en [a, b] y diferenciable en (a, b). Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f´(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

Demostración:

Consideremos la función auxiliar g(x) = f(x) - ((f(b) - f(a))/(b - a)) * x, que es continua en [a, b] (pues f lo es), es diferenciable en (a, b) (pues f lo es) y, además, se cumple que g(a) = g(b), como se muestra a continuación:

g(a) = f(a) - ((f(b) - f(a))/(b - a))a = (f(a)(b - a) - a(f(b) - f(a)))/(b - a) = (bf(a) - af(a) - af(b) + af(a))/(b - a) = (bf(a) - af(b))/(b - a)

g(b) = f(b) - ((f(b) - f(a))/(b - a))b = (f(b)(b - a) - b(f(b) - f(a)))/(b - a) = (bf(b) - af(b) - bf(b) + bf(a))/(b - a) = (bf(a) - af(b))/(b - a)

Dado que g(a) = g(b), por el Teorema de Rolle, existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que g´(c) = 0.

Calculando la derivada de g(x):

g´(x) = f´(x) - (f(b) - f(a))/(b - a)

Si g´(c) = 0, entonces:

f´(c) - (f(b) - f(a))/(b - a) = 0

Y, por lo tanto:

f´(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)

Definiciones y Conceptos Adicionales

Definición de Sucesión Convergente

Diremos que una sucesión {x_n} de números reales es convergente a x ∈ ℝ si, para todo ε > 0, existe un número natural N ∈ ℕ tal que, para todo n ≥ N, se cumple |x_n - x| < ε.

Notas y Fórmulas Clave

• Cálculo de potencias de números complejos: Efectuar las operaciones en forma polar y expresar el resultado en forma binómica (módulo y argumento).
• Teorema de las raíces conjugadas: Si un polinomio tiene coeficientes reales y un número complejo es una raíz, entonces su conjugado también es una raíz del polinomio.
• Descomposición en fracciones simples: Técnica utilizada para integrar funciones racionales.
• Fórmula para diferencia de cubos: A³ - B³ = (A - B)(A² + AB + B²).
• Criterio de Stolz-Cesaro: Para el cálculo de límites de cocientes de sucesiones, si lim_n→∞ (a_n - a_n-1) / (b_n - b_n-1) = L (con ciertas condiciones sobre b_n), entonces lim_n→∞ (a_n / b_n) = L.
• Regla de L'Hôpital: Aplicable para límites de la forma indeterminada 0/0 o ∞/∞.
• Límites laterales: Para estudiar la continuidad en un punto, es necesario calcular los límites por la izquierda y por la derecha. Si no coinciden, la función no es continua en ese punto.
• Límite notable con e: Para formas indeterminadas del tipo 1^∞, se puede usar la propiedad lim f(x)^g(x) = e^{lim g(x)(f(x)-1)}.
• Cálculo de raíces n-ésimas de números complejos: Si z = |z|e^iα, las n raíces n-ésimas son w_k = ⁿ√|z| * e^iα_k, donde α_k = (α + 2kπ)/n para k = 0, 1, ..., n-1.
• Derivadas básicas: La derivada de sen(x) es cos(x), y la derivada de cos(x) es -sen(x).