Conceptos Esenciales y Propiedades de los Números Racionales

Conceptos Fundamentales sobre Números Racionales y sus Operaciones

Aclaraciones Iniciales

La suma de enteros no consiste simplemente en añadir.

No todos los números naturales, al multiplicarse, resultan en un número mayor que el factor original; esto solo ocurre en casos específicos como 2n o 2p.

Si las fracciones son equivalentes, entonces representan números racionales.

Es equivalente utilizar los términos expresión fraccionaria, decimal o porcentaje.

Representaciones y Simplificación de Fracciones

Las fracciones pueden simplificarse y representan diferentes conceptos:

• Partes de un todo: Se utilizan medidas continuas (áreas) y discretas (elementos individuales, como caramelos, donde no se divide la unidad).
• Razón: Relación entre cantidades, como km/h, m/s, etc.
• Fracción como operador: Por ejemplo, ½ de 35.
• Representación numérica: Ubicación de un número en la recta numérica.
• Resultado de una división: Por ejemplo, 2/5.
• Probabilidad: Representación de la probabilidad de un evento.

Equivalencia de Fracciones

Dos fracciones son equivalentes si los productos cruzados son iguales (am = bn). Si los productos cruzados no son iguales, las fracciones no son equivalentes.

Las relaciones de equivalencia cumplen las siguientes propiedades:

• Reflexiva: Una fracción es equivalente a sí misma.
• Simétrica: Si x/y es equivalente a y/x, entonces x e y representan la misma fracción.
• Transitiva: Si x/y es equivalente a y/z, y y/z es equivalente a x/z, entonces x/z también es equivalente.

Definición de Número Racional

Un número racional es una clase de equivalencia que agrupa los resultados de las ecuaciones de fracciones equivalentes.

Los números racionales permiten que la ecuación x·b = a, donde b y a son enteros, siempre tenga solución. Cuando 'b' no es divisor de 'a', el cociente no es un número entero, pero la solución se encuentra dentro del conjunto de los números racionales a través de fracciones equivalentes.

Expresiones Fraccionarias y Decimales

Es falso que todo número decimal sea aquel que se puede expresar como fracción decimal.

Expresiones fraccionarias: a/b, donde b ≠ 0.

• Fracciones propias: a < b (el valor está entre 0 y 1).
• Fracciones impropias: a > b (el valor es mayor que 1). Ejemplo: 9/8 = 1 1/8 (número mixto).

Expresiones decimales: a/10 (fracciones con denominador como potencias de 10).

Números Fraccionarios y Decimales

Un número fraccionario es un número racional que se puede representar mediante una fracción irreducible con un denominador diferente de uno. Se calcula mediante el máximo común divisor (m.c.d.) o factorizando.

Todo número entero es un número racional, ya que cualquier entero puede escribirse como una fracción.

Fracción decimal: El denominador es una potencia de 10.

Números decimales: Aquellos para los cuales se puede encontrar una fracción decimal. Ejemplo: 7/4 = 175/100.

Los números enteros y los decimales son subconjuntos de Q (el conjunto de los números racionales).

Tipos de Expresiones Decimales

• Expresión decimal exacta o finita.
• Expresión decimal infinita.

Los números naturales pueden representarse decimalmente con el decimal 0.

Obtención de expresiones decimales:

• A partir de una fracción decimal o una fracción equivalente con denominador como potencia de 10.
• Mediante la división decimal, efectuando la división hasta obtener un resultado exacto.

Expresión decimal de fracciones no decimales:

Expresiones decimales periódicas: En una división, el resultado nunca es exacto y se repiten cifras.

• Periódica pura: Todas las cifras después de la coma se repiten (con "gorrito").
• Periódica mixta: Algunas cifras después de la coma se repiten y otras no.

Cálculo de la fracción generatriz:

• Periódica pura (Pp): (Todo el número - la parte sin "gorrito") / (Tantos 9 como cifras tenga la parte con "gorrito").
• Periódica mixta (Pm): (Todo el número - la parte sin "gorrito") / (Tantos 9 como cifras tenga la parte con "gorrito" seguido de tantos 0 como cifras haya después de la coma pero sin "gorrito").

Todo número racional tiene una representación decimal periódica. Todos los números cuya expresión decimal es finita o periódica son números racionales.

Orden de los Números Racionales

Si a·d > c·d, entonces a/b > c/d. Si tienen el mismo denominador, se compara el numerador. Si tienen el mismo numerador, se compara el denominador. También se pueden transformar a fracciones equivalentes para compararlas.

Propiedades de la Suma y la Multiplicación

• Conmutativa: El orden de los sumandos o factores no altera el resultado.
• Asociativa: El orden en que se agrupan los sumandos o factores no altera el resultado.
• Elemento neutro:
  • Suma: 0
  • Multiplicación: 1
• Elemento opuesto (suma): Para cada número racional a/b, existe su opuesto -a/b.
• Elemento inverso (multiplicación): Para cada número racional a/b (distinto de cero), existe su inverso b/a.
• Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c. Ejemplo: 1 · (8 + 6) = 1 · 8 + 1 · 6