Conceptos Esenciales de Probabilidad y Simulación Estadística

Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Estadística

Teorema Central del Límite (TCL)

El Teorema Central del Límite afirma que la distribución de medias muestrales tiende hacia una distribución normal, incluso si las muestras proceden de una distribución no normal. Este teorema es fundamental para determinar un modelo de probabilidad que describa el comportamiento de una variable continua.

Aplicaciones del Teorema Central del Límite

(Contenido pendiente de desarrollo)

Medidas de Posición y Cuantiles

Los cuantiles son valores que dividen una distribución de datos en partes iguales, facilitando la comprensión de la dispersión y la posición de los datos.

• Cuartiles

  Son aquellos que dividen la distribución en 4 partes iguales.

• Quintiles

  Son aquellos que dividen la distribución en 5 partes iguales.

• Deciles

  Son aquellos que dividen la distribución en 10 partes iguales.

• Percentiles

  Son aquellos que dividen la distribución en 100 partes iguales.

Pruebas de Bondad de Ajuste

Prueba de Kolmogorov-Smirnov

La prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov es una alternativa para verificar si una muestra "proviene" de una distribución continua (como la normal). Esta prueba se basa en la comparación entre la función de distribución acumulada de una distribución teórica y la función de distribución acumulada de la muestra.

Si las funciones de distribución acumulada teórica y muestral no son significativamente diferentes, entonces se concluye que la muestra proviene de la distribución cuya función de distribución acumulada es F_t(x).

Tipos de Variables Aleatorias

Diferencia entre Variables Aleatorias Continuas y Discretas

Una variable aleatoria discreta es aquella que puede asumir un número finito o contable de valores posibles, mientras que una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor en un intervalo dado.

Distribuciones de Probabilidad Específicas

Diferencia entre Distribución de Poisson y Distribución Exponencial

Mientras que la distribución de Poisson describe las llegadas por unidad de tiempo (eventos discretos en un intervalo), la distribución exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas (tiempo continuo entre eventos).

Relación entre Distribución de Poisson y Distribución Exponencial

La distribución Poisson, en un experimento, nos indica la frecuencia con la que puede ocurrir un determinado evento o error. Por su parte, la distribución exponencial nos dice el tiempo transcurrido entre la ocurrencia de estos eventos o errores.

Distribución Uniforme Continua

Es una familia de distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas, tales que, para cada miembro de la familia, todos los intervalos de igual longitud dentro de su rango son igualmente probables. El dominio está definido por dos parámetros, a y b, que son sus valores mínimo y máximo. La distribución es a menudo escrita en forma abreviada como U(a,b).

Distribución Uniforme Discreta

Es una distribución de probabilidad que asume un número finito de valores con la misma probabilidad.

Generación de Números Aleatorios

Método de la Inversa (F⁻¹) para Generar Aleatorios

¿Por qué no se puede aplicar el método de la inversa F⁻¹ a las distribuciones discretas Binomial y Poisson?

Esto se debe a que no es posible hallar la función de probabilidad acumulada (F) de forma compacta para poder despejarla y obtener su inversa.

¿En qué consiste el método de la distribución inversa (F⁻¹) para generar aleatorios?

Para generar números aleatorios, primero se debe hallar la función de densidad de probabilidad (f) de la distribución dada, lo cual se realiza mediante el uso de integrales. Posteriormente, se obtiene la función de distribución acumulada (F) para aplicar el teorema de inversión, donde U=F(X) implica X=F⁻¹(U).

Aplicaciones en Simulación

Aplicación de la Distribución Normal en Simulación

Se utiliza en procesos donde aplica el Teorema del Límite Central (TLC); es decir, si se tiene un grupo numeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución (cualquiera que este sea), la suma de ellas tiende a distribuirse como una normal. Usualmente, sirve para calcular la probabilidad de ocurrencia de sucesos distintos. En simulación, se usa para modelar errores en los sistemas, entre otras funciones.

Diferencia entre Distribución Discreta y Continua en Simulación

• Distribución de Variable Discreta

  Es aquella cuya función de probabilidad solo toma valores positivos en un conjunto de valores de X finito o infinito numerable, es decir, un conjunto discreto.

• Variable Continua

  Es aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo en los números reales, por lo que nunca se podrá medir exactamente (siempre habrá un error de medida). Ejemplo: el tiempo (la hora).

Distribución Erlang

Es generalmente usada en modelos de colas como una extensión de la distribución exponencial, especialmente útil para modelar tiempos de espera o servicio.

Distribución Empírica

Sirve para generar números aleatorios que no corresponden a ninguna distribución conocida, sino que se basan en datos observados o experiencia previa (por ejemplo, el comportamiento de ciertos eventos o procesos).