Conceptos Esenciales de Matemáticas: Logaritmos, Funciones y Geometría Elemental

Logaritmos

Sea a > 0 y a ≠ 1. Se llama logaritmo en base "a" de un número p al exponente x al que hay que elevar la base "a" para obtener p. Simbólicamente: log_a p = x ↔ a^x = p.

Propiedades de los Logaritmos

• El logaritmo de la base es 1: log_a a = 1.
• El logaritmo de 1 es 0: log_a 1 = 0.
• El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores: log_a (M · N) = log_a M + log_a N.
• Los números negativos y el cero no tienen logaritmo (el argumento del logaritmo debe ser positivo).

Funciones

Una función relaciona dos magnitudes. Es una aplicación entre dos conjuntos de números (un conjunto inicial y un conjunto final) de tal forma que a cada elemento (x) del primer conjunto (llamado dominio) le hace corresponder un único elemento (y) del segundo conjunto.

Dominio (Dom)

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de la variable independiente (x) para los cuales la función está definida, es decir, para los que existe un valor correspondiente de la variable dependiente (y).

Imagen (Img) o Rango

La imagen o rango de una función es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (y).

Gráfica de una Función (F)

La gráfica de una función es el conjunto de todos los puntos (x, f(x)) en el plano cartesiano, donde x pertenece al dominio de f. Hay dos formas principales de representar una función:

• Forma analítica: Mediante una fórmula matemática, por ejemplo, f(x) = x².
• Forma gráfica: Mediante una representación visual de los puntos (x, f(x)).

Continuidad de Funciones

Función Continua en un Punto

Una función es continua en un punto x₀ si existe el valor de la función en ese punto (f(x₀)). (Nota: Una definición más completa requiere también que exista el límite de la función en x₀ y que este coincida con f(x₀), pero se ha mantenido la simplicidad del texto original.)

Función Continua en un Intervalo

Una función es continua en un intervalo si lo es en todos los puntos de dicho intervalo.

Tipos de Discontinuidad

• Discontinuidad Evitable en x₀: Se presenta si no existe f(x₀) pero el límite de f(x) cuando x tiende a x₀ por ambos lados es el mismo valor finito (y la función se podría redefinir en ese punto para hacerla continua), o si existe f(x₀) pero este valor no coincide con dicho límite. (El texto original describía: "si no existe la f en x₀ y si se acerca al mismo valor la f x ambos lados o si si existe pero la f por ambos lados no se aprox.")
• Discontinuidad de Salto Infinito: Ocurre cuando, al acercarse a x₀ por uno o ambos lados, la función tiende a infinito (∞) o menos infinito (-∞).
• Discontinuidad de Salto Finito: Ocurre cuando, al acercarnos a x₀ por ambos lados, la función tiende a valores finitos distintos (los límites laterales existen y son finitos, pero diferentes).

Monotonía: Crecimiento y Decrecimiento

Una función crece en el intervalo (a, b) si para cualquier par de valores x₁, x₂ del intervalo, siendo x₁ < x₂, se cumple que el valor que toma la función en x₂ es mayor que el valor que toma en x₁ (es decir, f(x₁) < f(x₂)). (El texto original indicaba "...se cumple q el valor q toma la f en x1yx2 es mayor", interpretado aquí como f(x₂) > f(x₁) para la condición de crecimiento.)

Extremos de una Función

• Máximo Absoluto: Es el punto donde la función alcanza el mayor valor en todo su dominio.
• Mínimo Absoluto: Es el punto donde la función alcanza el menor valor en todo su dominio.
• Máximo Relativo: Se da si el valor de la función en x₀ es mayor que en los puntos de su entorno inmediato. En este punto, la función generalmente pasa de ser creciente a decreciente.
• Mínimo Relativo: Se da si el valor de la función en x₀ es menor que en los puntos de su entorno inmediato. En este punto, la función generalmente pasa de ser decreciente a creciente.

Tasa de Variación Media (TVM)

Se llama Tasa de Variación Media (TVM) de una función en un intervalo [a, b] al cociente entre la variación de la función (Δf = f(b) - f(a)) y la variación de la variable independiente (Δx = b - a) en ese intervalo.

TVM = [f(b) - f(a)] / (b - a)

Función Periódica

Una función periódica es aquella cuyos valores se repiten en intervalos iguales. El menor de estos intervalos positivos se llama periodo.

Tendencias y Asíntotas

Tendencias de una Función

Las tendencias de una función describen el comportamiento de la función (hacia dónde se dirige f(x)) cuando la variable independiente (x) tiende a infinito (∞) o a menos infinito (-∞).

Asíntotas

Una asíntota es una recta a la cual la gráfica de la función se acerca indefinidamente cuando la variable x o y (o ambas) tienden a infinito. (El texto original incluía la frase "(son las rectas tangentes)", que puede ser una simplificación; las asíntotas representan límites del comportamiento de la función más que tangencias en el sentido clásico.) Existen tres tipos principales:

• Asíntotas Verticales (V): Rectas de la forma x = k.
• Asíntotas Horizontales (H): Rectas de la forma y = c.
• Asíntotas Oblicuas (O): Rectas de la forma y = mx + n, con m ≠ 0.

Tipos de Funciones Específicas

Función Polinómica de Segundo Grado (Parábola)

Una función polinómica de segundo grado, de la forma f(x) = ax² + bx + c (con a ≠ 0), tiene como gráfica una parábola.

• Si el coeficiente del término cuadrático 'a' es positivo (a > 0), la parábola se abre hacia arriba.
• Si el coeficiente 'a' es negativo (a < 0), la parábola se abre hacia abajo.

Función Polinómica de Primer Grado (Recta)

Una función polinómica de primer grado, de la forma f(x) = mx + n, tiene como gráfica una recta.

Función de Proporcionalidad Inversa

Una función de proporcionalidad inversa, de la forma f(x) = k/x (con k ≠ 0), tiene como gráfica una hipérbola. (El texto original describía su apariencia como "Ls", lo cual es una simplificación visual de una rama en un cuadrante; la forma geométrica correcta es una hipérbola.)

Función Logarítmica

Una función logarítmica es aquella en la que la variable independiente (x) está afectada por un logaritmo. Ejemplo: f(x) = log_a(x).

Función Definida a Trozos

Una función definida a trozos es aquella cuyo dominio está dividido en varios intervalos, y en cada uno de estos intervalos la función tiene una expresión analítica distinta.

Otros Ejemplos de Funciones

• Función Polinómica (general): Ejemplo: f(x) = 3x + x^... (Se mantiene la expresión incompleta del original)
• Función Racional: Es el cociente de dos polinomios. Ejemplo: f(x) = (3x) / (5x²)
• Función Irracional: La variable independiente aparece bajo el signo radical. Ejemplo: f(x) = √(x + 3)
• Función Exponencial: La variable independiente aparece en el exponente de una base constante a, donde a > 0 y a ≠ 1. Ejemplo: f(x) = a^x.
• Función Trigonométrica: Aquellas que involucran razones trigonométricas. Ejemplo: f(x) = sen(x).

Geometría y Trigonometría

Semejanza de Figuras

Dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma matemática, aunque puedan tener diferente tamaño. Esto implica que:

• Sus ángulos correspondientes son iguales.
• Sus lados correspondientes son proporcionales. La razón constante entre las longitudes de los lados correspondientes se llama razón de semejanza (k).

Una forma de obtener figuras semejantes es mediante una homotecia de centro O y razón k. Si P es un punto y P' es su transformado homotético, entonces la relación entre sus distancias al centro es OP' = k · OP. (El texto original indicaba "--op:o´p´=k--", interpretado aquí como la relación de distancias en una homotecia.)

Razón de Áreas en Figuras Semejantes

Si la razón de semejanza lineal entre dos figuras (por ejemplo, dos triángulos) es k, entonces la razón entre sus áreas es k². Por ejemplo, si el área de una figura es A, el área de una figura semejante con razón k será k² × A. (El texto original "k^2x xcm2" parece un ejemplo con unidades; se ha generalizado el concepto.)

Ángulos y su Medición

Un ángulo es la región del plano limitada por dos semirrectas (llamadas lados) que tienen un origen común (llamado vértice).

Unidades de Medida de Ángulos:

• Grados Sexagesimales (°): Un grado sexagesimal es el ángulo que se obtiene al dividir una circunferencia completa en 360 partes iguales.
• Radianes (rad): Un radián es la medida de un ángulo central de una circunferencia cuyo arco subtendido tiene una longitud igual al radio de la circunferencia.

Valores Notables de Razones Trigonométricas

Para ciertos ángulos comunes (asumiendo la secuencia 30°, 45°, 60°, 90°), los valores de seno, coseno y tangente son:

Seno (sen α)

• Para 30° (π/6 rad): sen(30°) = 1/2 (Original: √1/2, interpretado como (√1)/2)
• Para 45° (π/4 rad): sen(45°) = √2/2 (Original: √2/2, interpretado como (√2)/2)
• Para 60° (π/3 rad): sen(60°) = √3/2 (Original: √3/2, interpretado como (√3)/2)
• Para 90° (π/2 rad): sen(90°) = 1 (Original: √4/2, interpretado como (√4)/2)

Coseno (cos α)

• Para 30° (π/6 rad): cos(30°) = √3/2 (Original: √3/2, interpretado como (√3)/2)
• Para 45° (π/4 rad): cos(45°) = √2/2 (Original: √2/2, interpretado como (√2)/2)
• Para 60° (π/3 rad): cos(60°) = 1/2 (Original: √1/2, interpretado como (√1)/2)
• Para 90° (π/2 rad): cos(90°) = 0 (Original: √0/2, interpretado como (√0)/2)

Tangente (tan α)

• Para 30° (π/6 rad): tan(30°) = √3/3
• Para 45° (π/4 rad): tan(45°) = 1
• Para 60° (π/3 rad): tan(60°) = √3
• Para 90° (π/2 rad): tan(90°) = No existe (indefinida)

Teorema de Tales

El Teorema de Tales establece que si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos rectas transversales (secantes), los segmentos determinados en una de las transversales son proporcionales a los segmentos correspondientes determinados en la otra. Si A, B, C son puntos en una transversal y A', B', C' son los puntos correspondientes en la otra, cortados por paralelas, entonces se cumple la proporción: A'B'/B'C' = AB/BC (o, equivalentemente, A'B'/AB = B'C'/BC).

Identidades Trigonométricas

La Identidad Trigonométrica Fundamental establece que para cualquier ángulo x:

sen²(x) + cos²(x) = 1