Conceptos Esenciales de Matemáticas y Física: Funciones, Trigonometría y Cinemática

1. Estudio de las Funciones Matemáticas

Función: Es una correspondencia entre dos conjuntos que asocia a cada elemento del conjunto inicial un único elemento del conjunto final.

• Dominio: Conjunto de valores que puede tomar la variable independiente.
• Recorrido: Conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente.

Tipos de Funciones y Rectas

Función lineal: Es la expresión de la forma f(x) = ax + b, donde:

• a: Pendiente.
• b: Ordenada en el origen.

En cuanto a la relación entre rectas, encontramos:

• Rectas paralelas: Tienen igual pendiente y distinta ordenada.
• Rectas coincidentes: Tienen igual pendiente e igual ordenada.
• Rectas secantes: Tienen distinta pendiente.

Función cuadrática: Es la igualdad de la forma f(x) = ax² + bx + c, donde a debe ser distinto de 0.

2. Trigonometría

Razones trigonométricas: En un triángulo rectángulo, se llaman razones trigonométricas de un ángulo agudo a las relaciones entre los lados del triángulo.

Definiciones Principales

• Seno (sen α): Cateto opuesto / Hipotenusa.
• Cosecante (cosec α): Hipotenusa / Cateto opuesto.
• Coseno (cos α): Cateto contiguo / Hipotenusa.
• Secante (sec α): Hipotenusa / Cateto contiguo.
• Tangente (tg α): Cateto opuesto / Cateto contiguo.
• Cotangente (cot α): Cateto contiguo / Cateto opuesto (la inversa de la tangente).

Relaciones Trigonométricas

1. tg α = sen α / cos α: La tangente de un ángulo es igual al seno entre el coseno de dicho ángulo.
2. cosec α = 1 / sen α: La cosecante es la inversa del seno.
3. sec α = 1 / cos α: La secante es la inversa del coseno.
4. cotg α = 1 / tg α: La cotangente es la inversa de la tangente.

Fórmula fundamental: sen² α + cos² α = 1

Valores Notables

Circunferencia Trigonométrica

Es aquella cuyo centro es el origen de coordenadas y cuyo radio vale 1.

Signos según el Cuadrante

3. Análisis de Funciones

• Función creciente: Aquella en la que, a medida que la variable independiente aumenta, aumenta también la variable dependiente.
• Función decreciente: Aquella en la que, a medida que la variable independiente aumenta, disminuye la variable dependiente.
• Máximo: Es un punto a la izquierda del cual la función es creciente y a la derecha decreciente.
• Mínimo: Es un punto a la izquierda del cual la función es decreciente y a la derecha es creciente.

4. Termodinámica: Calor y Temperatura

Temperatura: Magnitud que mide la energía cinética de las partículas de un cuerpo. Unidades: ºC, ºF, K.

Cero absoluto: Es la temperatura en la cual las partículas dejan de moverse. 0 K = -273,15 ºC.

Calor: Es la energía transferida entre dos cuerpos que están a distinta temperatura. Unidades: Julios (J), Calorías (cal). 1 cal = 4,18 J.

Transmisión de Energía Térmica

• Conductores térmicos: Sustancias que transmiten rápidamente la energía térmica de un punto a otro.
• Aislantes térmicos: Sustancias que transmiten lentamente la energía térmica de un punto a otro.

Mecanismos de transferencia:

• Conducción: Tiene lugar en sólidos.
• Convección: Tiene lugar en líquidos y gases (relacionado con la densidad d = m/v).
• Radiación: No necesita un medio material para propagarse; se da por radiación electromagnética.

Efectos del Calor sobre los Cuerpos

• Cambios en la temperatura.
• Cambios de estado.
• Dilatación y contracción.

Dilatación: Es el aumento de volumen de un cuerpo cuando absorbe calor.

Calor específico (cₑ): Cantidad de calor que hay que suministrar a un kg de dicha sustancia para que su temperatura se eleve 1 ºC (o 1 K).

Fórmula del calor: Q = cₑ · m · ΔT

• cₑ: Calor específico (J/kg·K).
• m: Masa de la sustancia (kg).
• Q: Calor absorbido (J).
• ΔT: Variación de la temperatura (ΔT = Tf - Ti).

5. Cinemática: El Movimiento

Sistema de referencia: Elemento fijo o punto del espacio respecto al cual se describe el movimiento de un cuerpo.

Movimiento relativo: El movimiento es relativo dependiendo del sistema de referencia elegido.

Posición: Lugar que ocupa un cuerpo en el espacio respecto al sistema de referencia en un instante determinado.

Trayectoria: Es la línea o conjunto de puntos que describe el móvil en su movimiento.

Movimiento Rectilíneo (MR): Si la trayectoria es una línea recta (ejemplo: el movimiento de un ascensor).

Magnitudes del Movimiento

• Desplazamiento (ΔX): Diferencia entre la posición final y la posición inicial (ΔX = xf - xi).
• Distancia recorrida: Es el espacio recorrido por un móvil medido sobre la trayectoria que sigue.
• Velocidad (m/s): Rapidez con la que un móvil cambia de posición (v = Δs / Δt).
• Velocidad instantánea: Velocidad que tiene el móvil en un instante determinado de tiempo.
• Velocidad media (Vm): Promedio de todas las velocidades instantáneas. Se calcula como el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado: Vm = Δs / Δt = (s - s₀) / (t - t₀).

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

Un móvil se desplaza con un MRU si sigue una trayectoria rectilínea y su velocidad es constante en todo momento. Siempre tardará el mismo tiempo en recorrer una distancia determinada.

Características:

• Su trayectoria es una línea recta.
• Presenta velocidad constante.
• La velocidad media y la velocidad instantánea coinciden.