Conceptos Esenciales de Geometría Vectorial y Álgebra Lineal

Operaciones Fundamentales con Vectores

Cálculo de Ángulos entre Vectores

El coseno del ángulo (θ) entre dos vectores v1=(x1, y1, z1) y v2=(x2, y2, z2) se calcula mediante la fórmula del producto escalar:

cos(θ) = (v1 · v2) / (|v1| * |v2|)

• Donde v1 · v2 = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2 (producto escalar).
• Y |v| = √(x² + y² + z²) (módulo del vector).

Producto Escalar

Para determinar si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar debe ser cero.

Producto Vectorial

• Para hallar un vector perpendicular a otros dos vectores, se utiliza el producto vectorial.
• El área de un paralelogramo formado por los vectores AB y AC se calcula como el módulo del producto vectorial: Área = |AB x AC|.
• El área de un triángulo formado por los vectores AB y AC es la mitad del módulo de su producto vectorial: Área = 0.5 * |AB x AC|.

Producto Mixto

El volumen de un paralelepípedo formado por los vectores AB, AC y AD se calcula como el valor absoluto del producto mixto:

Volumen = |[AB, AC, AD]|

Ecuaciones de Planos

Hallar un Plano

• Plano que pasa por un punto A y es perpendicular a un vector normal n (o a una recta R): La ecuación se obtiene de la forma: n · (x - A) = 0, donde x=(x,y,z).
• Plano que pasa por tres puntos A, B y C:
  1. Formar los vectores AB y AC.
  2. La ecuación del plano se obtiene haciendo el producto mixto de los vectores AB, AC y el vector genérico (x - A): [AB, AC, (x - A)] = 0.

Plano Bisector

El plano bisector de dos planos π1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 y π2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 se obtiene igualando las distancias de un punto genérico (x,y,z) a ambos planos:

|A1x + B1y + C1z + D1| / √(A1² + B1² + C1²) = |A2x + B2y + C2z + D2| / √(A2² + B2² + C2²)

Al ser un valor absoluto, existen dos soluciones (dos planos bisectores).

Posición Relativa de Elementos Geométricos

Posición Relativa entre Dos Rectas

Dadas dos rectas r1 y r2, con vectores directores vd1 y vd2, y un vector AB que une un punto de r1 con un punto de r2:

• Coincidentes: Rango(vd1, vd2) = 1 y Rango(vd1, vd2, AB) = 1 (los vectores son proporcionales).
• Paralelas: Rango(vd1, vd2) = 1 y Rango(vd1, vd2, AB) = 2 (los vectores directores son proporcionales, pero AB no).
• Secantes: Rango(vd1, vd2) = 2 y Rango(vd1, vd2, AB) = 2 (los vectores directores no son proporcionales, y los tres vectores son coplanares).
• Se cruzan: Rango(vd1, vd2) = 2 y Rango(vd1, vd2, AB) = 3 (los vectores directores no son proporcionales, y los tres vectores no son coplanares).

Posición Relativa entre Recta y Plano

Dada una recta r (con vector director vd) y un plano π (con vector normal n):

• Calcular el producto escalar vd · n.
• Si vd · n ≠ 0: La recta es secante al plano (lo corta en un punto). Para hallar el punto de corte, sustituir la ecuación paramétrica de la recta en la ecuación del plano.
• Si vd · n = 0: Hay dos casos:
  1. Si un punto de la recta pertenece al plano: La recta está contenida en el plano.
  2. Si un punto de la recta no pertenece al plano: La recta es paralela al plano.

Posición Relativa entre Dos Planos

Dadas las ecuaciones de dos planos π1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 y π2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0:

• Coincidentes: Si todos los coeficientes y términos independientes son proporcionales (A1/A2 = B1/B2 = C1/C2 = D1/D2).
• Paralelos: Si los coeficientes de x, y, z son proporcionales, pero el término independiente no (A1/A2 = B1/B2 = C1/C2 ≠ D1/D2).
• Secantes: Si los coeficientes de x, y, z no son proporcionales (al menos una de las razones A1/A2, B1/B2, C1/C2 es diferente).

Cálculo de Distancias

Distancia entre Dos Puntos

La distancia entre dos puntos A(x_A, y_A, z_A) y B(x_B, y_B, z_B) es el módulo del vector AB:

d(A,B) = |AB| = √((x_B-x_A)² + (y_B-y_A)² + (z_B-z_A)²)

Distancia de un Punto a una Recta

La distancia de un punto P a una recta r (con punto A y vector director vd) se calcula como:

d(P,r) = |AP x vd| / |vd|

Distancia entre Dos Rectas

• Si las rectas son secantes o coincidentes: La distancia es 0.
• Si las rectas son paralelas: Se elige un punto P de una de las rectas y se calcula la distancia de P a la otra recta (usando la fórmula de distancia de punto a recta).
• Si las rectas se cruzan: La distancia se calcula como: d(r1, r2) = |[AP, vd1, vd2]| / |vd1 x vd2|, donde AP es el vector que une un punto de r1 con un punto de r2.

Distancia de un Punto a un Plano

La distancia de un punto P(x0, y0, z0) a un plano Ax + By + Cz + D = 0 se calcula como:

d(P,π) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²)

Distancia entre Recta y Plano

• Si la recta está contenida en el plano o lo corta: La distancia es 0.
• Si la recta es paralela al plano: Se elige un punto P de la recta y se calcula la distancia de P al plano.

Distancia entre Dos Planos

• Si los planos son coincidentes o secantes: La distancia es 0.
• Si los planos son paralelos: Se elige un punto P de uno de los planos y se calcula la distancia de P al otro plano.

Simetría de Puntos

Punto Simétrico de P respecto a un Punto M

Para hallar el punto simétrico P'(x',y',z') de un punto P(x,y,z) respecto a un punto M(mx,my,mz), M es el punto medio del segmento PP'. Por lo tanto:

• mx = (x+x')/2
• my = (y+y')/2
• mz = (z+z')/2

Despejando x', y', z' se obtiene P'.

Punto Simétrico de P respecto a una Recta

Para hallar el punto simétrico P' de un punto P respecto a una recta r:

1. Hallar el plano π perpendicular a la recta r que pasa por P. El vector director de r es el vector normal de π.
2. Calcular el punto de intersección M de la recta r y el plano π.
3. M es el punto medio entre P y P'. Usar la fórmula de punto medio para hallar P'.

Punto Simétrico de P respecto a un Plano

Para hallar el punto simétrico P' de un punto P respecto a un plano π:

1. Hallar la recta r perpendicular al plano π que pasa por P. El vector normal de π es el vector director de r.
2. Calcular el punto de intersección M de la recta r y el plano π.
3. M es el punto medio entre P y P'. Usar la fórmula de punto medio para hallar P'.

Cálculo de Ángulos entre Elementos Geométricos

Ángulo entre Dos Rectas (r1, r2)

cos(θ) = |vd1 · vd2| / (|vd1| * |vd2|)

Ángulo entre Dos Planos (π1, π2)

cos(θ) = |n1 · n2| / (|n1| * |n2|)

Ángulo entre Recta y Plano (r, π)

sen(θ) = |vd · n| / (|vd| * |n|)

Operaciones con Matrices

Matriz Traspuesta

La matriz traspuesta (Aᵀ) se obtiene intercambiando las filas por las columnas de la matriz original.

Matriz Cíclica

Para una matriz cíclica (o con potencias que se repiten), si A^k = I (matriz identidad), para calcular A^n, se divide n entre k y el resto (r) es el nuevo exponento: A^n = A^r.

Matriz Inversa

La matriz inversa (A⁻¹) se calcula como: A⁻¹ = (1/det(A)) * (Adj(A))ᵀ.

1. Calcular el determinante de A (det(A)). Si det(A) = 0, la matriz no tiene inversa.
2. Calcular la matriz de cofactores (adjuntos con regla de signos).
3. Calcular la traspuesta de la matriz de cofactores (matriz adjunta).
4. Dividir cada elemento de la matriz adjunta por el determinante.

Regla de Cramer

La Regla de Cramer se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para cada incógnita (x, y, z, ...), se calcula un determinante donde la columna de coeficientes de esa incógnita se reemplaza por la columna de términos independientes, y se divide por el determinante de la matriz de coeficientes del sistema.

Resolución Matricial de Sistemas

Para resolver un sistema de ecuaciones matricialmente (AX = B), se calcula la matriz inversa de A (A⁻¹) y se multiplica por la matriz de términos independientes B: X = A⁻¹B.