Conceptos Esenciales de Geometría, Trigonometría y Vectores

Conceptos Fundamentales de Geometría

Semejanza de Figuras

• Una figura es **semejante** a otra si tienen la misma forma, aunque pueden tener diferentes dimensiones. Los elementos (ángulos, puntos, lados, etc.) que se corresponden en una semejanza se llaman **homólogos**.
• En dos figuras semejantes, el cociente constante entre las medidas de dos longitudes homólogas se denomina **razón de semejanza**.

• Polígonos Semejantes

  Dos polígonos con el mismo número de lados son semejantes si sus ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos son proporcionales.

• Razones de Áreas y Volúmenes

  Si dos figuras son semejantes con razón de semejanza *K*:
  • La razón de las áreas es *K*².
  • En el caso de cuerpos en el espacio, la razón de los volúmenes es *K*³.
• La **razón de semejanza** que relaciona las medidas reales con las representadas se llama **escala** y es adimensional (es decir, no tiene unidades).

<h3>Teoremas Clave en Geometría</h3>
<ul>
    <li>
        <h4>Teorema de Tales</h4>
        Si dos rectas *r* y *s* son cortadas por varias rectas paralelas *a*, *b*, *c*, *d*..., los segmentos que estas determinan sobre *r* y *s* son proporcionales.
    </li>
    <li>
        <h4>Triángulos en Posición de Tales</h4>
        Dos triángulos están en posición de Tales cuando comparten un vértice *A* y los lados opuestos a este vértice son paralelos.
    </li>
    <li>
        <h4>Criterios de Semejanza de Triángulos</h4>
        <ul>
            <li>**Criterio 1:** Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.</li>
            <li>**Criterio 2:** Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.</li>
            <li>**Criterio 3:** Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales.</li>
        </ul>
    </li>
    <li>
        <h4>Teorema de la Altura</h4>
        En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa coincide con el producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
    </li>
    <li>
        <h4>Teorema del Cateto</h4>
        En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.
    </li>
</ul>

Fundamentos de Trigonometría

• Un **grado sexagesimal** es la medida del ángulo central que se obtiene al dividir el correspondiente a la circunferencia completa en 360 partes iguales.
• Un **radián** es la medida del ángulo central de una circunferencia cuyo arco coincide con la longitud del radio.
• Una **ecuación trigonométrica** es aquella en la que la incógnita está afectada por alguna razón trigonométrica.
• **Resolver un triángulo** es calcular los tres elementos desconocidos utilizando los tres conocidos.

Introducción a los Vectores

Conceptos Básicos de Vectores

• Un **vector fijo del plano** es un segmento orientado definido por dos puntos, llamados origen y extremo.
• El **módulo** de un vector **AB** es la longitud del segmento AB. Se representa por |**AB**|.
• La **dirección** de un vector es la dirección de la recta que pasa por su origen y por su extremo.
• El **sentido** de un vector es el correspondiente de ir de su origen a su extremo.
• Los **vectores de posición** son cualquier vector fijo que tenga como origen el origen de coordenadas. Las coordenadas de un vector de posición coinciden con las coordenadas de su extremo.
• Los **vectores equipolentes** (**AB** y **CD**) son aquellos que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Los vectores equipolentes tienen las mismas coordenadas.
• Un **vector libre del plano** es el conjunto formado por todos los vectores equipolentes a un vector fijo. Se representa por **u**.

<h3>Operaciones con Vectores</h3>
<ul>
    <li>
        Para hallar las coordenadas del **vector suma**, se suman las coordenadas de los dos vectores.
    </li>
    <li>
        El **producto de un número por un vector** se obtiene multiplicando las dos coordenadas del vector por una constante.
    </li>
    <li>
        **Combinación lineal de vectores:** Dos vectores son linealmente dependientes cuando tienen la misma dirección. En este caso, sus coordenadas son proporcionales.
    </li>
    <li>
        El **producto escalar** de dos vectores libres es el producto de los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman.
    </li>
</ul>

Posiciones Relativas de Rectas

• **Rectas secantes:** Tienen un único punto en común.
• **Rectas paralelas:** No tienen ningún punto en común.
• **Rectas coincidentes:** Tienen infinitos puntos en común.