Conceptos Esenciales de Geometría: Triángulos, Circunferencia y Cuerpos Geométricos Fundamentales

Conceptos Fundamentales de Geometría

Triángulos

Triángulos Rectángulos Especiales

• Triángulo Rectángulo Isósceles: Un triángulo rectángulo con dos lados iguales (los catetos).
• Triángulo 30-60-90: Es la mitad de un triángulo equilátero. El cateto menor mide la mitad que la hipotenusa.

Triángulos Semejantes

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

Teorema de Tales

Si dos rectas secantes son intersecadas por dos rectas paralelas, en la configuración resultante los segmentos correspondientes son proporcionales.

Criterios de Semejanza de Triángulos

• Criterio AAA (Ángulo-Ángulo-Ángulo): Si dos triángulos tienen ángulos correspondientes iguales, entonces son semejantes.
• Criterio LLL (Lado-Lado-Lado): Si en dos triángulos los lados correspondientes son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.
• Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado): Si dos triángulos tienen un ángulo igual y los lados adyacentes proporcionales, entonces son semejantes.

La Circunferencia y sus Elementos

La circunferencia de centro el punto C y radio r es el conjunto de puntos que están a distancia r de C.

• Un radio es un segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.
• Una cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.
• Un diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
• Un ángulo central es un ángulo con vértice en el centro de la circunferencia.
• Un arco de la circunferencia es la parte de la circunferencia contenida en un ángulo central.

Poliedros y Cuerpos Geométricos

Identidad Fundamental de Euler para Poliedros

Tomemos un poliedro y contemos su número de caras (C), su número de aristas (A) y su número de vértices (V). La relación fundamental es:

C – A + V = 2

Poliedros Regulares (Sólidos Platónicos)

Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares (iguales) y todos sus vértices son iguales. Solo existen 5 poliedros regulares:

• Tetraedro: 4 caras
• Hexaedro (Cubo): 6 caras
• Octaedro: 8 caras
• Dodecaedro: 12 caras
• Icosaedro: 20 caras

Prismas

Un prisma es un sólido que se obtiene cuando un polígono se desplaza (de forma paralela) a lo largo de una recta.

Tipos de Prismas Específicos

• Un paralelepípedo es un prisma cuyas bases son paralelogramos.
• Un ortoedro es un prisma rectangular recto.

Altura de los Prismas

La altura de un prisma es la distancia entre los planos que contienen a sus bases.

Cilindros

Un cilindro puede ser: cilindro circular recto y cilindro circular oblicuo.

Pirámides

Una pirámide es el sólido limitado por la base y los triángulos definidos por el vértice y las aristas de la base. La altura de una pirámide es la distancia entre el vértice y el plano de la base.

La Esfera

Consideramos un punto del espacio C y una distancia r. La esfera con centro C y radio r es el conjunto de puntos que están a distancia r de C.