Conceptos Esenciales de Geometría Descriptiva: Sólidos, Superficies y Proyecciones

Conceptos Fundamentales de Geometría Descriptiva

Desarrollo de Sólidos y Superficies

Desarrollo de un Sólido (Definición 1)

Es la representación en un plano de la superficie total de las caras que forman el sólido.

Desarrollo de un Sólido (Definición 2)

Es la representación sobre un plano de la superficie total de las caras que forman el sólido.

Obtención del Desarrollo de una Esfera

La esfera es una superficie de doble curvatura, teóricamente indesarrollable. En la práctica, se suele recurrir a dividir, aproximadamente, la superficie en un número de cilindros o conos estrechos. Es posible desarrollarla de forma aproximada.

Superficies Radiadas Desarrollables

Incluyen: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro, pirámide, cono, prisma, cilindro, esfera.

Elementos Geométricos Clave

Poliedros

Son cuerpos geométricos limitados por superficies planas llamadas caras. Los lados son las aristas y los puntos extremos los vértices.

Sección Plana

Es la figura que se obtiene al cortar un sólido con un plano.

Sección Principal de un Poliedro Regular

Es una sección plana de simetría que muestra todas las magnitudes fundamentales del poliedro necesarias para su construcción y su desarrollo.

Poliedro Convexo

Se considera convexo si todo él se queda a un mismo lado de una cara prolongada indefinidamente.

Plano Rasante

Aquel que contiene una arista o una generatriz de un cuerpo geométrico sin cortarlo.

Directriz

En geometría, la directriz es aquella línea, superficie o volumen que determina las condiciones de generación de otra línea, superficie o volumen (que se llama generatriz).

Generatriz

Es una línea que, a causa de su movimiento, conforma una figura geométrica, que a su vez depende de la directriz. La generatriz puede ser una línea recta o curva.

Eje de Rotación

Es una línea recta con respecto a la cual una figura geométrica puede rotar.

Tipos de Superficies

Superficies Radiadas (Definición 1)

Son las que están limitadas por rectas que confluyen en un vértice que puede estar en el infinito.

Superficies Radiadas (Definición 2)

Son las que se generan por el movimiento de una recta apoyada en un punto propio o impropio y sobre una línea o curva.

Superficies Regladas

Se engendran por el movimiento de una recta y pueden ser seguidas por una regla de manera que toque a todos los puntos de la superficie a través de una de sus generatrices. Una superficie reglada es aquella que se puede seguir con una regla por todas sus caras, tocando todos sus puntos.

Superficies Alabeadas

Son las que se generan por el movimiento de una línea recta de forma que dos posiciones adyacentes de una recta se cruzan. En la figura, un conjunto de líneas rectas se apoyan en otras dos, llamadas directrices, generando una superficie reglada alabeada. Una curva alabeada es una línea en la que todos sus puntos no están sobre el plano. Ver más sobre superficies alabeadas

Operaciones en Geometría Descriptiva

Cambio de Plano

Consiste en sustituir arbitrariamente uno de los dos planos de proyección (PH o PV) por otro nuevo que debe ser perpendicular al plano de proyección que no se ha sustituido.

Abatimiento

Consiste en girar el plano 'a' alrededor de su traza horizontal 'ha', hasta que el plano 'a' coincida con el plano horizontal PH. Se utiliza la charnela. Se necesita: el plano que se abate y todo lo que contiene, la charnela, el sentido en el que se hace el abatimiento.

Giro

Es el desplazamiento de una figura en el espacio alrededor de un eje, en el que los planos de proyección y el eje permanecen fijos. Se necesita: el elemento que gira, el eje de giro, la amplitud del ángulo de giro, el sentido de giro.

Teoremas y Propiedades

Teorema de Euler

Caras + Vértices = Aristas + 2.

Secciones Planas de la Esfera

Son circulares.

Tabla de Poliedros Regulares

POLIEDRO	CARAS	VÉRTICES	ARISTAS
TETRAEDRO	4 triángulos equiláteros	4 triedros	6
CUBO O HEXAEDRO	6 cuadrados	8 triedros	12
OCTAEDRO	8 triángulos equiláteros	6 tetraedros	12
DODECAEDRO	12 pentágonos	20 triedros	30
ICOSAEDRO	20 triángulos equiláteros	12 pentaedros	30