Conceptos esenciales sobre funciones: continuidad, monotonicidad y representación gráfica

Función

Función (para cada valor de x solo se corresponde un valor de y).

Formas de expresar una función

• Por un enunciado.
• Por una expresión algebraica.
• Por una gráfica.
• Por una tabla de valores.

Variables

Variable independiente: x / variable dependiente: y.

Continuidad

Una función es continua si no hay que levantar el lápiz del papel para dibujarla.

Puntos de corte con los ejes

Son los puntos donde la función corta a los ejes de coordenadas. Pueden ser con el eje x y con el eje y. En estos puntos se dan los valores que toman ambas variables.

Imagen o recorrido

Son los valores que toma la variable dependiente y. Solo se dan los valores de y. Para calcularlo se hace un barrido a lo largo del eje y.

Monotonía

• Creciente: una función es creciente en un intervalo si, a lo largo de él, las variables x e y aumentan. Ejemplo: creciente en (-6,-4) ∪ (-1,1).
• Decreciente: lo mismo que la anterior pero disminuyendo. Ejemplo: decrece en (-4,0) ∪ (-2,5).
• Constante: si x va aumentando y la variable dependiente y permanece siempre en el mismo valor.

Extremos

Son los puntos máximos y mínimos que tiene la función. Para representarlos se toma el punto donde están: el más alto para el máximo y el más bajo para el mínimo.

Simetrías

• Simetría par: una función tiene simetría par si, al doblar el papel por el eje y, las dos partes de la función coinciden.
• Simetría impar: si al doblar el papel por el eje x y luego por el eje y las dos partes de la función coinciden.

Curvatura

Una función es cóncava hacia arriba si tiene forma similar a ∪, y es cóncava hacia abajo si tiene forma similar a ∩. La curvatura se refiere a la variación de la pendiente respecto a x; las funciones lineales no la tienen.

Periodicidad

Es la figura de la función que se repite. Para encontrar el periodo se identifican los intervalos (o “cuadrados”) que se repiten en la gráfica.

Funciones afines

Expresión algebraica: forma: y = m x + n (la m es la pendiente y la n la ordenada en el origen).

1. Si m es mayor que 0, la recta es creciente; si m es menor que 0, es decreciente.
2. Gráfica: su representación gráfica es una línea recta.
3. Representación: para representarlas se hace una tabla de valores.
4. Ecuación de una recta que pasa por dos puntos A y B.
5. Dos rectas secantes son aquellas que se cortan en un punto.

Funciones cuadráticas

Expresión algebraica: forma: y = a x² + b x + c. Su representación se llama parábola.

Pasos para representar una función cuadrática

1. Mirar la orientación: si a es mayor que 0 la parábola abre hacia arriba; si a es menor que 0 abre hacia abajo. a es el coeficiente que acompaña a x² en la expresión.
2. Calcular los puntos de corte con los ejes x e y.
3. Calcular el vértice. Para esto se usa la fórmula del Vx: Vx = -b / (2a) (donde b y a son los números de la expresión). Una vez obtenido el Vx, se calcula Vy sustituyendo el valor de Vx en la expresión de la función. Finalmente se obtiene el vértice: V(Vx, Vy).
4. Hacer una tabla de valores.

Funciones racionales

Forma: K / (x - a) + b, donde K, a y b son números reales.

Pasos para representar una función racional

1. Calcular la asíntota vertical: para hacerlo hay que igualar el denominador a 0 y resolver.
2. Calcular la asíntota horizontal, que es igual a la letra b en la forma y = K / (x - a) + b. Estas dos asíntotas se representan con líneas discontinuas.
3. Observar el crecimiento: si K es mayor que 0 la función es decreciente (se sitúa en los cuadrantes 1 y 3); si K es menor que 0 la función es creciente (se sitúa en los cuadrantes 2 y 4).
4. Hacer una tabla de valores.