Conceptos Esenciales de Estadística y Probabilidad: Frecuencias, Permutaciones y Combinaciones

Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Estadística

En esta sección, exploraremos las definiciones esenciales que forman la base de la probabilidad y la estadística, herramientas cruciales para comprender y cuantificar la incertidumbre y los datos.

A) Probabilidad

Es la posibilidad de que ocurra un evento determinado.

B) Frecuencia Absoluta

Es el número de veces que un valor específico aparece en un conjunto de datos.

C) Frecuencia Relativa

Es la proporción de veces que un valor aparece en un conjunto de datos, calculada como la frecuencia absoluta dividida por el número total de datos.

D) Frecuencia Acumulada

Es la suma de las frecuencias de todas las clases hasta una clase específica en un conjunto de datos ordenado.

Experimento Aleatorio

Es un proceso cuyo resultado es incierto, pero que puede repetirse bajo las mismas condiciones.

Espacio Muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Evento o Suceso

Es un resultado o un conjunto de resultados específicos de un experimento aleatorio.

Construcción y Cálculo de Tablas de Frecuencias

Problema 1: Elaboración de una Tabla de Frecuencias a partir de Datos Brutos

A continuación, se presentan los datos de un conjunto de observaciones. Utilizaremos estos datos para construir una tabla de frecuencias completa, incluyendo frecuencias absolutas, relativas, acumuladas y relativas acumuladas.

Datos Observados:

1  0  4  7  7  2  2  6
2  0  1  2  5  4  2  3
4  2  1  4  2  1  5  5
5  1  2  2  4  2  6  0
6  3  6  7  0  3  7  4

Tabla de Frecuencias:

Para un total de 40 datos, la tabla de frecuencias se completa de la siguiente manera:

Principios de Conteo: Permutaciones y Combinaciones

Problema 2: Cálculo de Permutaciones

Determina de cuántas maneras diferentes se pueden entregar 14 despensas (distinguibles) a 21 personas seleccionadas, donde cada persona puede recibir como máximo una despensa.

Para resolver este problema, utilizamos la fórmula de permutaciones, ya que el orden en que se entregan las despensas a las personas seleccionadas sí importa (la asignación de una despensa específica a una persona específica es una disposición ordenada).

La fórmula de permutaciones de n elementos tomados de k en k es:

P(n, k) = n! / (n - k)!

Donde:

• n = número total de personas disponibles = 21
• k = número de despensas a entregar = 14

Sustituyendo los valores:

P(21, 14) = 21! / (21 - 14)!

P(21, 14) = 21! / 7!

P(21, 14) = 21 × 20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8

P(21, 14) = 101,570,917,235,200

Por lo tanto, hay 101,570,917,235,200 maneras diferentes de entregar las 14 despensas a 21 personas.

Problema 3: Cálculo de Combinaciones

Si un grupo de fútbol siete está integrado por 17 alumnos, ¿de cuántas maneras puede el entrenador Omar elegir un cuadro de 7 alumnos para participar, considerando que todos los integrantes tienen la misma probabilidad de ser seleccionados y el orden de elección no importa?

Para resolver este problema, utilizamos la fórmula de combinaciones, ya que el orden en que se eligen los alumnos no importa; lo relevante es el grupo final de 7 alumnos.

La fórmula de combinaciones de n elementos tomados de k en k es:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Donde:

• n = número total de alumnos = 17
• k = número de alumnos a elegir para el cuadro = 7

Sustituyendo los valores:

C(17, 7) = 17! / (7! * (17 - 7)!)

C(17, 7) = 17! / (7! * 10!)

C(17, 7) = (17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10!) / (7! × 10!)

C(17, 7) = (17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11) / (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)

C(17, 7) = 19,448

Por lo tanto, el entrenador Omar puede elegir un cuadro de 7 alumnos de 19,448 maneras diferentes.