Conceptos Esenciales de Estadística Descriptiva y Medidas de Posición

Estadística: Conceptos Fundamentales

La Estadística es la rama de las matemáticas que se encarga de recopilar, organizar, procesar, visualizar e interpretar datos.

Definición de Datos

Los Datos son cada uno de los valores obtenidos (las "respuestas") en un estudio estadístico.

Tipos de Datos según su Procesamiento

• Datos sin procesar: Datos que no han sido analizados ni procesados mediante métodos estadísticos.

Clasificación de Variables Estadísticas

Variables Cualitativas

Se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números.

• Nominal: No admiten un orden específico (ej. color de ojos).
• Ordinal: Sí existe un orden o jerarquía (ej. nivel de satisfacción).

Variables Cuantitativas

Se expresan mediante un número y se pueden realizar operaciones matemáticas con ellas.

• Discretas: Toman un número finito o contable de valores (generalmente números enteros).
• Continuas: Implican mediciones numéricas que pueden expresarse con números fraccionarios y enteros, tomando un número infinito de valores dentro de un rango.

Medidas de Tendencia Central

• Media Aritmética (Promedio): Valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.
• Mediana (Me):
  • Si el número de datos es impar: Se ordenan y se selecciona el valor central.
  • Si el número de datos es par: Se ordenan y se calcula el promedio de los dos datos centrales.
• Moda (Mo): El o los valores que más se repiten en el conjunto de datos.

Representaciones Gráficas en Estadística

• Diagrama de Barras: Muestra los valores de frecuencia sobre un sistema de ejes cartesianos, utilizado cuando la variable es discreta o cualitativa.
• Histogramas: Formas especiales de diagramas de barras, utilizados específicamente para distribuciones cuantitativas continuas.
• Polígono de Frecuencia: Formado por líneas poligonales abiertas sobre un sistema de ejes cartesianos.
• Gráficos de Sectores (Circulares o de Torta): Dividen el círculo en porciones proporcionales según el valor de las frecuencias relativas.
• Cartogramas: Expresión gráfica de datos a modo de mapa.
• Pirámide de Población: Gráfico utilizado para clasificaciones de grupos de población por edad y sexo.

Medidas de Posición: Cuartiles y Percentiles

Cuartiles (Q)

Los Cuartiles (Q) son 3 valores de la variable que dividen un conjunto de datos ordenados en 4 partes iguales (25% cada una). Representan los valores del 25%, 50% y 75% de los datos. Es importante notar que Q2 coincide con la Mediana (Me).

Fórmulas de Posición para Cuartiles (Datos sin Agrupar)

Donde K es el número del cuartil (1, 2, 3) y N es el número total de datos:

• Para número de datos impar: Posición $Q_K = \frac{K(N+1)}{4}$
• Para número de datos par: Posición $Q_K = \frac{K \cdot N}{4}$

Percentiles (P)

Los Percentiles dividen el conjunto de datos ordenados en 100 partes iguales.

Cálculo de Percentiles para Datos sin Agrupar

1. Ordenar los datos.
2. Calcular la posición: $P_K = \frac{K(N+1)}{100}$ (Donde K es el número del percentil a calcular y N es el número total de datos).
3. El resultado es el número de la posición del dato.

Cálculo de Percentiles para Datos Agrupados

Para datos agrupados, primero se calcula la posición para encontrar el intervalo de clase. Los elementos necesarios para la fórmula de cálculo incluyen:

• $L_i$: Límite inferior del intervalo de clase.
• $C$: Amplitud del intervalo.
• $F_{i-1}$: Frecuencia absoluta acumulada anterior al intervalo.
• $f_i$: Frecuencia absoluta del intervalo.

Construcción de Tablas de Frecuencia Agrupada

Elementos Clave para Agrupación

• Rango (R): $R = X_{max} - X_{min}$ (Diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de los datos).
• Número de Intervalos (K): Se puede determinar usando la Regla de Sturges: $K = 1 + 3.322 \cdot \log(N)$ (Donde N es el número total de datos).
• Amplitud del Intervalo (A o i): $A = \frac{R}{K}$. La amplitud define la extensión de los números a incluir en cada intervalo de clase.

Definiciones de Frecuencias y Clases

• Clase (Intervalo): El rango de valores definido por la amplitud.
• Marca de Clase ($X_i$): Es el punto medio del intervalo. Se calcula como el promedio entre el límite inferior ($L_i$) y el límite superior ($L_s$): $X_i = \frac{L_i + L_s}{2}$.
• Frecuencia Absoluta ($f_i$): Es el número de veces que se repite un dato dentro de un intervalo. La suma de todas las frecuencias absolutas debe ser igual al número total de datos (N).
• Frecuencia Relativa ($f_r$): Se calcula dividiendo la frecuencia absoluta ($f_i$) entre el número total de datos ($N$): $f_r = \frac{f_i}{N}$.
• Frecuencia Absoluta Acumulada ($F_i$): Es la suma acumulada de las frecuencias absolutas ($f_i$).