Conceptos Esenciales de Economía y Cálculo: Fórmulas y Aplicaciones

Conceptos Clave de Economía

Objetivos Empresariales Fundamentales

• Maximizar el beneficio: Incrementar ingresos y reducir gastos suele ser la máxima prioridad.
• Estabilizarse y crecer: Crecer es la tendencia natural de cualquier empresa una vez asegurados los clientes de los mercados ya existentes.
• Generar empleo y riqueza en la zona de influencia: Es frecuente que las grandes empresas industriales creen empleo y realicen procesos de subcontratación.
• Mejorar el bienestar de las sociedades: Contribuir positivamente al entorno social.

Tipos de Desempleo

• Paro estacional: Se debe a la existencia de ciertas actividades que solo requieren mano de obra en determinadas épocas del año. Ejemplo: Un camarero que se queda sin trabajo al acabar el verano.
• Paro friccional: Es un desempleo voluntario que ocurre cuando una persona deja su empleo para buscar otro mejor.

Indicadores y Conceptos Económicos

Producto Interior Bruto (PIB)

Es una magnitud que mide el valor de la producción de bienes y servicios de una sociedad en un tiempo determinado, asociada al crecimiento económico. El crecimiento económico suele representarse en forma de porcentaje y en series temporales por dos razones fundamentales:

• Mide la marcha de la economía: Permite medir la mejora o el empeoramiento con respecto a periodos anteriores, lo cual tiene especial importancia para determinar si la economía va bien o está en crisis, así como su evolución.
• Permite comparaciones: Expresado en forma de porcentaje, mide la variación con respecto a años anteriores y facilita la comparación con otros países.

Punto de Equilibrio (PE)

Gráficamente (en un eje de precio y cantidad), es aquel punto en el que coinciden los planes de los consumidores y los de las empresas, de forma que el intercambio satisface a ambos. Se alcanza cuando la cantidad que se quiere vender es igual a la que se quiere comprar, y no hay ni exceso de oferta ni de demanda.

Responsabilidad Social Corporativa (RSC)

Es la integración voluntaria por parte de las empresas de las preocupaciones sociales y medioambientales. Al adoptar voluntariamente la RSC, las empresas invierten en su futuro y esperan que el compromiso que adoptan contribuya a incrementar su rentabilidad.

Grupos objetivos:

• Empleados, proveedores, clientes y socios.

Ámbitos de actuación:

• Derechos humanos, imagen corporativa, protección de la salud y prácticas de trabajo y empleo.

Ejemplos de Fórmulas Económicas

• Punto Muerto (Q*): Q* = Costes Fijos / (Precio - Coste Variable Unitario) → Ej: Q* = 300 / (15 - 5) = 30
• Coste Total (CT): CT = (Coste Variable Unitario · Cantidad) + Costes Fijos → Ej: CT = (5 · 30) + 300 = 450
• Ingreso Total (IT): IT = Precio · Cantidad → Ej: IT = 15 · 30 = 450

Fundamentos de Cálculo y Álgebra

Reglas Básicas de Derivación

• Si f(x) = c (constante) → f'(x) = 0
• Si f(x) = x → f'(x) = 1
• Si y = f(x)^a → y' = a · f(x)^a-1 · f'(x)
• Si y = √f(x) → y' = f'(x) / (2√f(x))
• Si y = sen(f(x)) → y' = cos(f(x)) · f'(x)
• Si y = cos(f(x)) → y' = -sen(f(x)) · f'(x)
• Si y = tg(f(x)) → y' = (1 + tg²(f(x))) · f'(x)
• Si y = e^f(x) → y' = e^f(x) · f'(x)
• Si y = a^f(x) → y' = a^f(x) · f'(x) · ln(a)
• Si y = ln(f(x)) → y' = f'(x) / f(x)
• Si y = log_a(f(x)) → y' = f'(x) / (f(x) · ln(a))

Álgebra de Derivadas

• Suma/Resta: (f ± g)' = f' ± g'
• Producto: (f · g)' = f' · g + f · g'
• Cociente: (f / g)' = (f' · g - f · g') / g²
• Constante por función: (a · f)' = a · f'

Propiedades de los Logaritmos

• Definición: log_a(P) = x ⇔ a^x = P
• Logaritmo de la base: log_a(a) = 1
• Logaritmo de la unidad: log_a(1) = 0
• Logaritmo de una potencia: log_a(Pⁿ) = n · log_a(P)
• Logaritmo de una raíz: log_a(ⁿ√P) = (log_a(P)) / n
• Cambio de base: log_a(P) = log(P) / log(a)

Cálculo de Dominios de Funciones

• Función Polinómica: Dominio = ℝ (todos los números reales).
• Función Racional (fracción): Dominio = ℝ - {valores que anulan el denominador}.
• Raíz de índice par (√f(x)): El radicando debe ser mayor o igual a cero (f(x) ≥ 0).
• Raíz de índice par en denominador (1/√f(x)): El radicando debe ser estrictamente mayor que cero (f(x) > 0).
• Raíz de índice impar: El dominio es el mismo que el del radicando.
• Función Logarítmica (log(f(x))): El argumento debe ser estrictamente mayor que cero (f(x) > 0).

Límites en el Infinito (Funciones Racionales)

Para calcular el límite cuando x → ∞ de un cociente de polinomios, se compara el grado del numerador (N) y el del denominador (D):

• Si el grado de N > grado de D, el límite es ±∞.
• Si el grado de N < grado de D, el límite es 0.
• Si el grado de N = grado de D, el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado.

Aplicaciones de la Derivada

Recta Tangente

La ecuación de la recta tangente a la función f(x) en el punto x = x₀ es: y - f(x₀) = f'(x₀) · (x - x₀), donde m = f'(x₀) es la pendiente.

Cálculo de la Función Inversa (f^-1(x))

1. Se nombra a f(x) como y.
2. Se despeja la variable x en función de y.
3. Se intercambian las variables x e y para obtener la expresión final.

Problemas de Optimización

1. Plantear la función a optimizar (maximizar o minimizar).
2. Escribir la función en términos de una sola variable usando una restricción dada.
3. Derivar la función e igualarla a cero para encontrar los puntos críticos.
4. Comprobar con la segunda derivada si el punto es un máximo o un mínimo.

Fórmulas geométricas útiles:

• Triángulo (rectángulo): Hipotenusa² = cateto₁² + cateto₂²; Área = (base · altura) / 2
• Rectángulo: Perímetro = 2·base + 2·altura; Área = base · altura
• Cuadrado: Perímetro = 4·lado; Área = lado²