Conceptos Esenciales de Continuidad y Derivabilidad de Funciones

Introducción a la Continuidad

Continuidad Lateral

Una función f es continua en un punto x=a si es continua por ambos lados, es decir, por la derecha y por la izquierda.

Tipos de Discontinuidad

Una función f es continua en un punto a cuando existen y coinciden el valor de f(a), el límite por la derecha lim_x→a⁺ f(x) y el límite por la izquierda lim_x→a^- f(x). Cuando esto no ocurre, la función f es discontinua y a cada caso se le atribuye un nombre:

• Discontinuidad Evitable

  Se da cuando existe el límite lim_x→a f(x) = L, pero f(a) no existe o f(a) ≠ L.

• Discontinuidad de Primera Especie (de Salto)

  Se da cuando existen los límites laterales, pero son distintos. Si los límites laterales existen y son finitos, pero distintos, la discontinuidad es de salto finito. El salto se calcula como la diferencia entre el límite por la derecha y el límite por la izquierda. Si al menos uno de los límites laterales es infinito, la discontinuidad es de salto infinito.

• Discontinuidad de Segunda Especie

  Cuando al menos uno de los límites laterales no existe.

La Derivada de una Función

Se llama derivada de una función y=f(x) en un punto x=a al límite del cociente incremental. Se representa como:

f'(a) = lim_x→a (f(x) - f(a)) / (x-a)

La derivada es un límite y, por lo tanto, los casos que pueden presentarse son:

1. El límite del cociente incremental es un número real → f es derivable en x=a.
2. El límite del cociente incremental es infinito → f tiene derivada infinita en x=a (no es derivable en el sentido usual).
3. El límite del cociente incremental no existe → f no tiene derivada en x=a.

Relación entre Continuidad y Derivabilidad

Si una función f no es continua en un punto, no tiene recta tangente en ese punto.

Teorema: Si una función f es derivable en un punto x=a, entonces la función f es necesariamente continua en x=a.

Demostración:

Partimos de que f es derivable en x=a → f'(a) = lim_x→a (f(x) - f(a)) / (x-a) = k, donde k es un número real.

Consideremos lim_x→a [f(x) - f(a)]:

lim_x→a [f(x) - f(a)] = lim_x→a [(f(x) - f(a)) / (x-a) ∙ (x-a)]

= lim_x→a [(f(x) - f(a)) / (x-a)] ∙ lim_x→a (x-a)

= k ∙ 0 = 0

Por lo tanto, lim_x→a [f(x) - f(a)] = 0, lo que implica lim_x→a f(x) = f(a). Esto demuestra que la función es continua en a.

Cálculo de Derivadas: Operaciones con Funciones Derivables

Suma de Funciones

Si f y g son funciones derivables en el punto a, entonces f+g también es derivable y:

(f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)

La derivada de la suma es la suma de las derivadas.

Demostración:

(f+g)'(a) = lim_x→a [(f+g)(x) – (f+g)(a)] / (x-a)

= lim_x→a [f(x)+g(x) – f(a)-g(a)] / (x-a)

= lim_x→a [(f(x)-f(a)) + (g(x)-g(a))] / (x-a)

= lim_x→a [(f(x)-f(a)) / (x-a) + (g(x)-g(a)) / (x-a)]

= f'(a) + g'(a)

Producto de Funciones

Si f y g son derivables en un punto, entonces el producto también es derivable y su derivada es:

(f ∙ g)'(a) = f'(a) ∙ g(a) + f(a) ∙ g'(a)

Demostración:

(f ∙ g)'(a) = lim_x→a [(f ∙ g)(x) – (f ∙ g)(a)] / (x-a)

= lim_x→a [f(x) ∙ g(x) – f(a) ∙ g(a)] / (x-a)

= lim_x→a [(f(x) ∙ g(x) – f(a) ∙ g(x)) + (f(a) ∙ g(x) – f(a) ∙ g(a))] / (x-a)

= lim_x→a [g(x) ∙ (f(x)-f(a)) / (x-a) + f(a) ∙ (g(x)-g(a)) / (x-a)]

= lim_x→a g(x) ∙ lim_x→a [(f(x)-f(a)) / (x-a)] + lim_x→a f(a) ∙ lim_x→a [(g(x)-g(a)) / (x-a)]

= g(a) ∙ f'(a) + f(a) ∙ g'(a)

Composición de Funciones (Regla de la Cadena)

Si f es una función derivable en a y g es una función derivable en f(a), entonces la función compuesta (g o f) es derivable en a, y:

(g o f)'(a) = g'(f(a)) ∙ f'(a)

Esta es la regla de la cadena.

Demostración:

(g o f)'(a) = lim_x→a [(g o f)(x) - (g o f)(a)] / (x-a)

= lim_x→a [g(f(x)) - g(f(a))] / (x-a)

Multiplicando y dividiendo por (f(x)-f(a)):

= lim_x→a [g(f(x)) - g(f(a))] / [f(x)-f(a)] ∙ [f(x)-f(a)] / (x-a)

= lim_x→a [g(f(x)) - g(f(a))] / [f(x)-f(a)] ∙ lim_x→a [f(x)-f(a)] / (x-a)

Haciendo y = f(x), cuando x→a, y→f(a):

= lim_y→f(a) [g(y) - g(f(a))] / [y - f(a)] ∙ f'(a)

= g'(f(a)) ∙ f'(a)

Conclusión: (g o f)'(x) = g'(f(x)) ∙ f'(x).

Cociente de Funciones

Si f y g son derivables en un punto y g(x) ≠ 0, entonces el cociente también es derivable y su derivada es:

(f / g)'(x) = (f'(x) ∙ g(x) – f(x) ∙ g'(x)) / (g(x))²

Propiedades de Límites y Funciones Continuas Típicas

Propiedades de Límites Notables

• n/0 = ∞ (si el límite del numerador es n ≠ 0 y el denominador tiende a 0)
• 0/n = 0 (si el límite del numerador es 0 y el denominador es n ≠ 0)
• ∞/n = ∞ (si el límite del numerador es ∞ y el denominador es n ≠ 0)
• n/∞ = 0 (si el límite del numerador es n ≠ 0 y el denominador tiende a ∞)

Dominio de Continuidad de Funciones Comunes

• Funciones Polinómicas: Continuas en todo R (todos los números reales).
• Funciones Racionales: Continuas en R excepto en los puntos donde el denominador se anula.
• Funciones Radicales:
  • Índice par: Continuas en [0, ∞) (para la raíz cuadrada de x). En general, donde el radicando sea mayor o igual que cero.
  • Índice impar: Continuas en todo R.
• Función Valor Absoluto: Continua en todo R.
• Funciones Exponenciales: Continuas en todo R.
• Funciones Logarítmicas: Continuas en (0, ∞) (para el logaritmo natural de x). En general, donde el argumento sea mayor que cero.

Aplicaciones de la Derivada

Recta Tangente

• Tangente Horizontal: La pendiente es m=0. Se iguala la primera derivada a cero: f'(a)=0.
• Tangente Vertical: La derivada es infinita en el punto: f'(a)=∞ (o no existe el límite finito).
• Si no hay tangente, la función no es derivable en el punto.
• Tangente con pendiente 1 (como la bisectriz del primer/tercer cuadrante): f'(a)=1.

La ecuación de la recta tangente en un punto (x₀, y₀) es: y - y₀ = f'(x₀) (x - x₀).

Monotonía (Crecimiento y Decrecimiento)

Para estudiar la monotonía de una función:

1. Calcular la primera derivada: f'(x).
2. Igualar la derivada a cero (f'(x)=0) para encontrar los puntos críticos.
3. Analizar el signo de la derivada en los intervalos definidos por los puntos críticos:
   • Si f'(x) > 0 → La función es creciente.
   • Si f'(x) < 0 → La función es decreciente.
   • Si f'(x) = 0 en un intervalo → La función es constante en ese intervalo.

Curvatura (Convexidad y Concavidad)

Para estudiar la curvatura de una función:

1. Calcular la primera y segunda derivada: f'(x) y f''(x).
2. Igualar la segunda derivada a cero (f''(x)=0) para encontrar posibles puntos de inflexión.
3. Analizar el signo de la segunda derivada en los intervalos definidos por estos puntos:
   • Si f''(x) > 0 → La función es convexa (hacia arriba).
   • Si f''(x) < 0 → La función es cóncava (hacia abajo).

Estudio de Extremos (Máximos y Mínimos Locales)

Para encontrar los máximos y mínimos locales de una función:

1. Calcular la primera y segunda derivada: f'(x) y f''(x).
2. Resolver la ecuación f'(x)=0 para encontrar los puntos críticos.
3. Comprobar la segunda derivada en cada punto crítico x₀:
   • Si f''(x₀) > 0 → Hay un mínimo local en x₀.
   • Si f''(x₀) < 0 → Hay un máximo local en x₀.
   • Si f''(x₀) = 0 → El criterio no decide, se debe usar el criterio de la primera derivada o derivadas de orden superior.

Condiciones para Problemas Típicos

• Si una función f(x) tiene un máximo en (1,4):
  • f(1) = 4 (pasa por el punto)
  • f'(1) = 0 (pendiente cero en el máximo)
• Si una función f(x) tiene un valor 0 en x=1, un máximo en x=-1 y un mínimo en x=0:
  • f(1) = 0
  • f'(-1) = 0 (condición de máximo)
  • f'(0) = 0 (condición de mínimo)
• Si una función es derivable en todo R y continua en x=2 (para funciones a trozos):
  • Condición de Continuidad en x=2: f(2) = lim_x→2⁺ f(x) = lim_x→2^- f(x) (el valor de la función en el punto debe coincidir con los límites laterales).
  • Condición de Derivabilidad en x=2: f'(2⁺) = f'(2^-) (las derivadas laterales deben ser iguales).