Conceptos Esenciales de Cálculo: Funciones, Límites, Derivadas e Integrales

Conceptos Fundamentales de Funciones

¿Qué es una Función?

Una función, denotada como f, es una relación entre un conjunto dado X (conocido como dominio) y otro conjunto de elementos Y (denominado codominio). Esta relación se establece de tal manera que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio. Los elementos f(x) que resultan de esta correspondencia forman el recorrido de la función, también conocido como rango o ámbito.

Función Continua

Una función continua es aquella cuya gráfica puede trazarse sin levantar el lápiz del papel. Para que una función f(x) sea continua en un punto a, debe satisfacer las siguientes condiciones:

1. La función f debe estar definida en a, de modo que f(a) exista.
2. Debe existir el límite de f(x) cuando x tiende a a.
3. El límite de f(x) cuando x tiende a a debe ser igual a f(a).

Entorno Reducido

Un entorno reducido de un punto p es un entorno de p al que se le ha excluido el propio punto p. Se denota como E*(p, δ) o E(p, δ) \ {p}.

Por ejemplo, el intervalo abierto (−1, 1) = {y : −1 < y < 1} es un entorno del punto p = 0 en la recta real. Entonces, el conjunto (−1, 0) ∪ (0, 1) = (−1, 1) − {0} es un entorno reducido de 0.

Infinitésimo de una Función

Se dice que una función f(x) es un infinitésimo en x = a si y solo si el límite de dicha función cuando x tiende al valor a es igual a 0. Es decir, si limx→a f(x) = 0.

Límites y sus Propiedades

Propiedades Fundamentales de los Límites

Los límites poseen propiedades esenciales que facilitan su cálculo y comprensión:

Límite de una Constante

El límite de una función constante es la constante misma.

limx→a k = k

Límite de la Función Identidad

El límite de la función identidad, a medida que x tiende a a, es a.

limx→a x = a

Límite de una Constante por una Función

El límite de una constante multiplicada por una función es igual a la constante por el límite de la función.

limx→a [k ⋅ f(x)] = k ⋅ limx→a f(x)

Discontinuidad de Funciones

Tipos de Discontinuidad

La discontinuidad de una función en un punto puede clasificarse en dos tipos principales:

Discontinuidad Evitable

Una función f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto x = a en dos situaciones:

1. La función f(x) no está definida en el punto x = a, pero el límite de la función cuando x tiende a a existe y es finito.
2. La función f(x) está definida en el punto x = a y el límite de la función cuando x tiende a a existe y es finito, pero el valor de la función en el punto (f(a)) no es igual al valor del límite.

Discontinuidad Esencial

Una función f(x) presenta una discontinuidad esencial en x = a en los siguientes casos:

1. La función no tiene límite cuando x tiende a a, lo que ocurre cuando los límites laterales son distintos (discontinuidad de salto).
2. El límite de la función cuando x tiende a a es infinito (positivo o negativo), lo que indica que la función tiene una asíntota vertical en x = a.

Derivadas y Diferenciales

Derivada de una Función

La deriva de una función se define como el límite del cociente incremental cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero. Es una medida de cómo cambia el valor de una función a medida que su entrada cambia.

Derivada en un Punto

La derivada de una función f(x) en un punto x = a se define como el valor del límite, si este existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero. Matemáticamente, se expresa como:

f'(a) = limh→0 [f(a + h) - f(a)] / h

Diferencial de una Función

Para una función y = f(x), el diferencial de la función, denotado como dy, se define como el producto de su derivada f'(x) por el diferencial de la variable independiente dx (o el incremento de la variable independiente, Δx).

dy = f'(x) dx

Funciones Monótonas: Crecientes y Decrecientes

Las funciones monótonas son aquellas que mantienen una tendencia constante (creciente o decreciente) en un intervalo determinado.

• Si una función f(x) es creciente en un intervalo [a, b], entonces su primera derivada f'(x) en cualquier punto de ese intervalo es positiva (f'(x) > 0).
• Si una función f(x) es decreciente en un intervalo [a, b], entonces su primera derivada f'(x) en cualquier punto de ese intervalo es negativa (f'(x) < 0). Geométricamente, la recta tangente a la curva en cada punto del intervalo forma con el semieje positivo de las x un ángulo obtuso, comprendido entre π/2 y π radianes (90° y 180°).

Integrales y Métodos de Integración

Función Primitiva

Una función primitiva (o antiderivada) de una función f(x) es otra función F(x) cuya derivada es f(x). Es decir, si F'(x) = f(x). Esta relación es fundamental en el cálculo integral, ya que la función primitiva es la base para el cálculo de integrales indefinidas y definidas.

Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más generalmente, dominio).

Métodos de Integración

Los métodos de integración son el conjunto de diversas técnicas elementales empleadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función. Estas técnicas permiten resolver integrales que no pueden ser calculadas directamente.

Regla de Barrow

La Regla de Barrow, también conocida como el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, establece que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva F(x) de f(x) en los extremos de dicho intervalo.

∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)