Conceptos Esenciales del Cálculo Diferencial: Funciones, Límites y Derivadas

Definiciones Clave en Cálculo Diferencial

Límite: Valor fijo al cual puede acercarse una función sin necesidad de llegar a igualarlo.

Derivada: Es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de una función según cambie el valor de su variable independiente.

Dominio: Es el conjunto de existencia de una función, es decir, los valores de la variable independiente para los cuales la función está definida.

Máximo absoluto: Valor de la función que es mayor a cualquier otro valor en todo el dominio de la función.

Mínimo absoluto: Es el valor de la función que es menor a cualquier otro en todo el dominio.

Optimización: Proceso para obtener el resultado más apropiado de un problema, de acuerdo con encontrar el máximo y el mínimo.

Concavidad: De una curva o superficie, es la zona que se asemeja al interior de una circunferencia o esfera, opuesta a la convexidad.

Función: Es una regla de correspondencia entre dos conjuntos, llamados dominio y codominio, donde a cada elemento del dominio (variable independiente x) le corresponde un único elemento del codominio (variable dependiente y).

Cambio: Concepto que denota la transición que ocurre cuando se transita de un estado a otro.

Pendiente: Se refiere a la inclinación de la recta tangente en un punto de una curva.

Secante: Es una recta que corta a una curva en dos puntos.

Tangente: Es una recta que toca a una curva en un único punto.

Cálculo Diferencial: Rama de las matemáticas que permite resolver problemas donde el cambio de variables moldea la variación de estos elementos en un instante o intervalo específico.

Propiedades, Axiomas y Principios Fundamentales

Axiomas y Hechos Verificables

• Un campo es un conjunto de números junto con dos operaciones que satisfacen ciertos axiomas. (Verdadero)
• Los axiomas de campo para la suma son: cerradura, conmutatividad, asociatividad, elemento neutro aditivo e inverso aditivo. (Verdadero)
• Los axiomas de campo para la multiplicación son: cerradura, conmutatividad, asociatividad, elemento neutro multiplicativo e inverso multiplicativo. (Verdadero)
• El axioma distributivo corresponde a la propiedad: a(b+c) = ab + ac. (Verdadero)
• Los números reales están ordenados. (Verdadero)
• La propiedad de tricotomía corresponde a los axiomas de campo. (Falso, es un axioma de orden)
• El valor absoluto de un número real representa su distancia al cero. (Verdadero)
• El valor absoluto siempre es un número positivo o cero. (Verdadero)
• Se denomina aceleración a la variación de la velocidad con respecto al tiempo. (Verdadero)
• Una función puede estar representada de diferentes maneras (gráfica, algebraica, tabular, etc.). (Verdadero)

Clasificación de los Números Reales

• Racionales: -3/4, 5/8, 18/7
• Enteros: -7, 0, 8
• Irracionales: √2, 1+√5, √7-5
• Trascendentes: π, e, ln(x)

Propiedades del Valor Absoluto

• Convierte todo número en positivo o cero.
• Simetría: |a| = |-a|
• Propiedad multiplicativa: |a * b| = |a| * |b|
• Propiedad de la división: |a / b| = |a| / |b| (si b ≠ 0)
• Relación con el cuadrado: |a|² = a²

Tipos de Intervalos en el Dominio

• Abierto: (a, b)
• Cerrado: [a, b]
• Semiabierto: (a, b] o [a, b)
• Infinito: (a, ∞), (-∞, a), [a, ∞), (-∞, a]

Propiedades de las Funciones Reales

• Inyectividad
• Sobreyectividad (o suprayectividad)
• Biyectividad
• Composición
• Inversibilidad

Aplicaciones y Orígenes del Cálculo

El cálculo diferencial nació cuando Isaac Newton y Gottfried Leibniz trataron de entender cómo cambian las cosas en un instante preciso.

El límite es una herramienta fundamental para estudiar el comportamiento de una función en puntos específicos.

Velocidad y Movimiento

La velocidad promedio que tiene un cuerpo en movimiento durante un intervalo de tiempo se calcula al dividir la distancia recorrida entre el tiempo transcurrido. Corresponde a la pendiente de la recta secante que une dos puntos en la gráfica.

La velocidad instantánea es la pendiente de la recta tangente en un punto específico y se calcula a través de un límite.

La fórmula de la velocidad promedio es: v = (d₂ - d₁) / (t₂ - t₁) = Δd / Δt

Tipos de Funciones y sus Representaciones

El dominio de una función corresponde a las variables independientes.

Una función que toma un número real como entrada y devuelve su cuadrado es una función cuadrática.

Las funciones trigonométricas no son lineales y tienen importantes aplicaciones en la ingeniería y la física.

Ejemplos Gráficos:

• Función Lineal: f(x) = 2x + 4. Su gráfica es una línea recta.
• Función Cuadrática: f(x) = x² - 1. Su gráfica es una parábola con forma de "U". Una función como f(x) = -x² + 1 tendría forma de "U" invertida.
• Función Trigonométrica: f(x) = sen(x). Su gráfica es una onda continua.