Conceptos Esenciales de Cálculo Diferencial: Derivadas, Rectas Tangentes y Límites

Conceptos Fundamentales del Cálculo Diferencial

Este documento presenta una recopilación de fórmulas y conceptos esenciales del cálculo diferencial, abarcando derivadas de funciones trigonométricas inversas, la ecuación de la recta tangente, el diferencial de una función, aproximaciones lineales y la interpretación de límites para asíntotas.

Derivadas de Funciones Trigonométricas Inversas

• La derivada del arcoseno de x es: d/dx (arcsen(x)) = 1/√(1-x²)
• La derivada del arcoseno de x (considerando el signo negativo, posiblemente para arccos(x)) es: d/dx (arcsen(x)) = -1/√(1-x²)
• La derivada del arcotangente de x es: d/dx (arctan(x)) = 1/(x²+1)

Recta Tangente y Aproximación Lineal

• La ecuación de la Recta Tangente a una función f(x) en un punto (x₀, f(x₀)) es:
  y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀)

  Donde f'(x₀) es la derivada de la función evaluada en x₀, representando la pendiente de la recta tangente en ese punto.

• El Diferencial de una función y = f(x) se define como:
  dy = f'(x) dx

  Representa el cambio aproximado en y para un pequeño cambio en x.

• La Aproximación Lineal de una función f(x) alrededor de un punto a es:
  L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)

  Esta fórmula permite estimar valores de la función cerca de a utilizando la recta tangente.

Valores Notables del Seno y Límites para Asíntotas

Valores del Seno para Ángulos Comunes

A continuación, se presentan los valores del seno para ángulos notables en radianes:

• sen(0) = 0
• sen(π/6) = 1/2
• sen(π/4) = √2/2
• sen(π/3) = √3/2
• sen(π/2) = 1

Límites y Asíntotas

• Asíntota Vertical: Si el límite de una función f(x) cuando x se aproxima a un valor a es infinito (positivo o negativo), entonces la recta x = a es una asíntota vertical.
  lim_x→a f(x) = ±∞
• Asíntota Horizontal: Si el límite de una función f(x) cuando x tiende a infinito (positivo o negativo) es un valor finito b, entonces la recta y = b es una asíntota horizontal.
  lim_x→±∞ f(x) = b