Conceptos Esenciales de Aritmética: Operaciones Fundamentales con Números Naturales

Operaciones con números naturales: Suma o adición

Sumar es añadir, unir, juntar, agregar, etc. Matemáticamente, la suma de números se corresponde con la unión de conjuntos disjuntos: n(A∪B) = n(A) + n(B). Los términos de la suma se llaman sumandos y el resultado suma o total.

Propiedades básicas de la suma

• Asociativa. Si se suman tres números, el orden en que se agrupan no altera el resultado.
• Conmutativa. El orden de los sumandos no altera la suma (ej. 3+4 es igual que 4+3).
• Elemento neutro. Existe un elemento que no suma nada, es el 0.

Resta o sustracción

Restar es quitar, sustraer, extraer, etc. Esta operación está ligada al orden de los números naturales, es decir, no es posible restar un número mayor a uno menor dentro de este conjunto, ya que el resultado no sería un número natural.

Los términos de la resta se llaman minuendo y sustraendo, y el resultado se llama diferencia.

Definiciones de la resta

• Conjuntista. Se entiende como la diferencia de números al cardinal de la diferencia de los conjuntos: A-B = n(A-B).
• Por comparación de cardinales. Son aquellas situaciones en las que hay una resta, pero la acción de 'quitar' no es tan explícita. Por ejemplo: “Tengo 10 caramelos, ¿cuántos tendría que tener más para tener 16?”.
• Aritmética. Detrás de una resta, siempre hay una relación con la suma:
  • minuendo - sustraendo = diferencia.
  • sustraendo + diferencia = minuendo.
  • minuendo - diferencia = sustraendo.

Propiedades de la resta

• No es asociativa. No es lo mismo (8-5)-3 que 8-(5-3).
• No conmutativa. No es lo mismo 3-5 que 5-3.
• Tiene como elemento neutro el 0.
• Si a los dos términos de la resta se les suma o se les resta la misma cantidad, el resultado no cambia.

Multiplicación o producto

La multiplicación es una suma repetida (ej. 2+2+2 = 2x3). Para el aprendizaje del niño es interesante que construyan sus propias tablas de multiplicar.

Los términos de la multiplicación se llaman factores y el resultado se llama producto.

Propiedades de la multiplicación

• Asociativa. En una multiplicación, el orden en que se agrupan los factores no altera el producto (ej. (3x5)x8 = 3x(5x8)).
• Conmutativa. El orden de los factores no altera el producto (ej. 3x4 es igual que 4x3).
• Tiene como elemento neutro el 1, ya que cualquier número multiplicado por 1 resulta en ese mismo número.
• Distributiva del producto respecto a la suma. El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos: 3x(5+4) = (3x5) + (3x4).
• Distributiva del producto respecto a la resta. El producto de un número por una resta es igual a la resta de los productos de dicho número por cada uno de los términos: 3x(5-4) = (3x5) - (3x4).
• No distributiva de la suma, ni de la resta, respecto al producto. La suma o resta de un número por un producto no es lo mismo que el producto de las sumas o restas individuales (ej. 3+(4x5) no es lo mismo que (3+4) x (3+5)).
• Al multiplicar un número por 0, siempre da 0.

División

Dividir es repartir, distribuir, separar, etc., siempre en partes iguales. Hay dos concepciones distintas:

• Repartir una cantidad de objetos entre 'x' número de grupos.
• Repartir una cantidad en grupos de 'x' elementos.

También se puede entender como una repetición de una resta.

Definición conjuntista de la división

En conjuntos, se trata de que un conjunto dado se divide en subconjuntos. El número de grupos que se obtiene es el cociente. Una división es exacta cuando el resto es 0 y es entera cuando tiene resto. Las partes de la división son: dividendo, divisor, cociente y resto.

Relación fundamental de la división (prueba de la división)

Dividendo = divisor x cociente + resto.

El resto ha de ser menor que el divisor.

Propiedades de la división

• Dividir por cero es imposible y carece de sentido.
• No conmutativa. 8:4 es distinto que 4:8.
• No asociativa. 12:(4:2) es distinto que (12:4):2.
• Si el dividendo y el divisor se les multiplica o se les divide por la misma cantidad, el cociente no cambia, pero el resto se verá multiplicado o dividido por esa misma cantidad.