Conceptos Esenciales de Álgebra Lineal y Teoría de Grafos

Este documento presenta una recopilación de definiciones fundamentales en diversas ramas de las matemáticas, incluyendo la teoría de números, la teoría de grafos y el álgebra lineal. Comprender estos conceptos es crucial para el estudio avanzado de estas disciplinas.

Teoría de Números y Grafos

Elementos Invertibles en Z_n

Un elemento a de Z_n se dice invertible si existe otro elemento b en Z_n tal que a ⋅ b ≡ 1 (mod n).

Definiciones Clave en Teoría de Grafos

• Matriz de Adyacencia: Si G es un grafo simple con n vértices, su matriz de adyacencia A es una matriz de tamaño n × n, donde la entrada A_ij es 1 si existe una arista entre los vértices i y j, y 0 si no la hay.
• Grafo Conexo: Un grafo es conexo si cada par de vértices está unido por al menos un camino.
• Grafo Euleriano: Un grafo se dice euleriano si existe un circuito (camino cerrado) que recorre todas las aristas del grafo exactamente una vez.
• Árbol: Un árbol es un grafo conexo y acíclico (sin ciclos).

Álgebra Lineal: Vectores y Espacios Vectoriales

Conceptos Fundamentales de Vectores

• Combinación Lineal de Vectores: Un vector se dice combinación lineal de otros si puede expresarse como una suma de múltiplos escalares de dichos vectores.
• Sistema Generador: Un conjunto de vectores se dice un sistema generador de Kⁿ si cualquier vector de Kⁿ puede expresarse como combinación lineal de estos vectores.
• Vectores Linealmente Independientes: Un conjunto de vectores se dice linealmente independiente si ninguno de ellos puede escribirse como combinación lineal de los demás.
• Base: Una base es un conjunto de vectores que es a la vez linealmente independiente y un sistema generador.
• Coordenadas de un Vector respecto a una Base: Dada una base B = {v₁, ..., v_n} y un vector v, existe una única forma de escribir v como una suma de los vectores de la base multiplicados por escalares: v = c₁v₁ + ... + c_nv_n. A estos escalares (c₁, ..., c_n) se les denomina las coordenadas del vector v respecto a la base B.

Aplicaciones Lineales y Geometría Vectorial

1. Aplicación Lineal (Dos Enfoques)

   • Una aplicación f: V → W es lineal si transforma sumas de vectores en sumas de sus imágenes y múltiplos escalares de un vector en múltiplos escalares de su imagen. Es decir, para todo u, v ∈ V y todo escalar c: f(u + v) = f(u) + f(v) y f(c ⋅ u) = c ⋅ f(u).
   • Una aplicación f es lineal si existe una matriz A tal que f(v) = A ⋅ v para cualquier vector v.

2. Imagen y Antiimagen de un Vector

   • La imagen de un vector v mediante una aplicación f es el vector resultante de aplicar f a v, es decir, f(v).
   • La antiimagen de un vector w mediante f es el conjunto de todos los vectores v del dominio tales que f(v) = w.

3. Núcleo e Imagen de una Aplicación

   • El núcleo de f (también llamado kernel) está formado por el conjunto de vectores v del dominio que se transforman en el vector nulo (0) del codominio al aplicarles f.
   • La imagen de f (también llamado rango) está formada por el conjunto de todas las imágenes de los vectores del dominio.

4. Tipos de Aplicaciones Lineales: Inyectivas, Suprayectivas y Biyectivas

   • Una aplicación es inyectiva si vectores distintos del dominio tienen imágenes distintas en el codominio.
   • Una aplicación f: Rⁿ → R^m es suprayectiva (o sobreyectiva) si su imagen es todo R^m.
   • Una aplicación es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva simultáneamente.

5. Ángulo entre Dos Vectores

   • El ángulo θ entre dos vectores u y v no nulos se define mediante su coseno: cos(θ) = (u ⋅ v) / (|u| ⋅ |v|).

6. Base Ortonormal

   • Una base es ortonormal si sus vectores son ortogonales entre sí (dos a dos) y tienen longitud unitaria (norma 1).

7. Proyección Ortogonal y Mejor Aproximación

   • Dado un vector v y un subespacio W, la proyección ortogonal de v sobre W (o la mejor aproximación de v por vectores de W) es el vector v₁ ∈ W tal que (v - v₁) es ortogonal a W.