Conceptos Esenciales de Álgebra Lineal: Inversa, Adjunta, Rango y Matrices Escalonadas

Inversa de una Matriz

Sea A una matriz de orden n. Si existe su inversa, se simboliza como A^-1 y es una matriz de orden n tal que verifica la siguiente igualdad: A · A^-1 = A^-1 · A = I.

Matrices No Singulares o Regulares

Son las matrices cuadradas que poseen inversa.

Matrices Singulares o No Regulares

Son las matrices cuadradas que no poseen inversa.

Propiedades de la Matriz Inversa

1. Si A es una matriz no singular y se verifica que AB = I, entonces BA = I. Esto significa que si una parte cumple con la definición de matriz inversa, la otra también lo hace.
2. La inversa de una matriz es única. Si AB = AC = I, entonces B = C, lo que implica que B y C cumplen las condiciones para ser inversas de la matriz A.
3. La inversa de un producto de dos matrices no singulares es igual al producto de sus respectivas inversas en orden invertido: (AB)^-1 = B^-1 · A^-1.
4. La inversa de la inversa de una matriz es igual a la matriz original: (A^-1)^-1 = A.
5. La inversa de la traspuesta de una matriz es igual a la traspuesta de la inversa de dicha matriz: (A^T)^-1 = (A^-1)^T.
6. La inversa de una matriz simétrica también es simétrica: A^-1 = (A^-1)^T (si A = A^T, entonces A^-1 = (A^-1)^T).
7. La inversa de una constante por una matriz es igual al recíproco de la constante por la inversa de la matriz: (k · A)^-1 = (1/k) · A^-1.
8. La inversa de una matriz diagonal también es diagonal, y los elementos de su diagonal principal son los recíprocos de los elementos de la diagonal principal de la matriz original.
9. La inversa de una suma de matrices no es igual a la suma de las respectivas inversas: (A + B)^-1 ≠ A^-1 + B^-1.
10. El determinante de la matriz inversa es igual al recíproco del determinante de la matriz original: |A^-1| = 1/|A|.

Matriz Adjunta

Sea A una matriz de orden n. Se denomina matriz adjunta de A (simbolizada como adj(A)) a una matriz de orden n que resulta de trasponer la matriz formada por los adjuntos de los elementos de la matriz dada.

Dividiendo ambos miembros por |A| (que no es nulo por hipótesis), se tiene: A · (adj(A) / |A|) = I.

Donde el producto de A por la matriz adj(A)/|A| es igual a la matriz identidad. Por esta razón, y de acuerdo con la definición de matriz inversa, se tiene: A^-1 = adj(A) / |A|. Esta fórmula permite calcular la inversa de una matriz cuyo determinante es distinto de cero. Si, en cambio, el determinante de la matriz dada es nulo, la fórmula no se puede aplicar y la matriz no tiene inversa.

Rango de una Matriz

Se denomina rango de una matriz A de orden n al número máximo de líneas paralelas (filas o columnas) linealmente independientes. Para comprender esta definición, es necesario recordar los conceptos de combinación lineal de vectores e independencia lineal de vectores (los cuales se encuentran en otros documentos).

Propiedades del Rango

1. El rango del producto de matrices es menor o igual que el mínimo de los rangos de las matrices que se multiplican. Es decir, si A y B son matrices cuyo producto es conforme (o compatible).
2. El rango del producto de dos matrices, una de las cuales es no singular, es igual al rango de la otra matriz. Sean A y B dos matrices conformes, siendo A no singular; entonces: r(A · B) = r(B).
3. El rango de una matriz A de orden n × m no excede al número de filas o de columnas que la misma posee, según cuál sea el menor.
4. El rango de la matriz identidad es igual al orden de la misma: r(I_t) = t.
5. El rango de la matriz nula es igual a cero.
6. El rango de una matriz regular (que tiene inversa) es igual al de su inversa e igual al orden de la misma. En este caso, se dice que la matriz tiene rango máximo: r(A)_n = r(A^-1)_n = n.
7. El rango de una matriz es igual al rango de su traspuesta: r(A) = r(A^T).
8. El rango del producto de un escalar por una matriz es igual al rango de dicha matriz: r(k · A) = r(A).

Matrices Escalonadas

Para que una matriz sea escalonada por filas, se verifica que:

• En cada fila, el primer elemento no nulo (pivote) sea uno (1).
• La cantidad de ceros que precede al pivote en cualquier fila es mayor que en la fila anterior.

Lo mismo se aplica para las matrices escalonadas por columnas, pero considerando las columnas en lugar de las filas.