Conceptos esenciales de álgebra: binomio al cuadrado, funciones y números irracionales

Cuadrado de un binomio

Cuadrado de un binomio

Al elevar un binomio al cuadrado se obtiene el cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Matemáticamente:

(a + b) = (a + b) — (se cumple que) (a + b)² = a² + 2ab + b².

Funciones

Función

Una función (o aplicación) es una correspondencia entre dos conjuntos: uno de partida, que llamamos dominio, y uno de llegada, que a veces se denomina codominio. A cada elemento del dominio le corresponde uno y solo un elemento del codominio.

Variable independiente

La variable independiente es el elemento que pertenece al dominio; es la entrada de la función, normalmente representada por x.

Variable dependiente

La variable dependiente es el valor de la función asociado a una variable independiente; pertenece al codominio y normalmente se representa por f(x) o y.

Forma lineal de una función

Ejemplo: Para una función lineal se suele escribir f(x) = ax + b, donde a es la pendiente y b es la ordenada al origen.

Números irracionales

Números irracionales

Un número irracional es aquel que no puede expresarse como una fracción de enteros. Sus representaciones decimales tienen infinitas cifras y no son periódicas.

Operaciones con números irracionales

Producto de irracionales

En muchos casos, la raíz (radical) es multiplicativa respecto del producto: por ejemplo, para índices y radicandos apropiados, √(ab) = √a · √b. Hay que tener en cuenta condiciones sobre signos y el índice del radical.

Cociente de irracionales

Cociente de irracionales

De forma análoga, cuando está definido, la raíz de un cociente suele cumplirse como √(a/b) = √a / √b. Para simplificar radicales y extraer factores fuera del radical se recomienda descomponer el radicando en sus factores primos y simplificar cuando sea posible.

Suma y resta de números irracionales

Suma y resta

Para sumar o restar radicales es necesario que los radicales sean semejantes (es decir, mismo índice y mismo radicando después de simplificar). A veces no es necesario extraer factores del radical para realizar la operación, pero la simplificación previa facilita el proceso.

F(x) = a x         pendiente a. y         ordenada al origen b

Teorema de Tales

Teorema de Tales

Si dos rectas son cortadas por tres paralelas, los segmentos determinados por los puntos de intersección sobre una de ellas son proporcionales a los segmentos determinados por los puntos correspondientes en la otra.

Consecuencia del Teorema de Tales

Consecuencia

Si dos semirrectas que concurren en O son cortadas por dos rectas paralelas A A' y B B', los segmentos determinados en una semirrecta y en la otra son proporcionales.

OA = A B = OB

OA'     A'B'     AB'

Razones y proporciones

Razones y proporciones

Una razón compara dos cantidades mediante una división (por ejemplo, a/b). Una proporción establece la igualdad entre dos razones: a : b = c : d.

Propiedad fundamental:

El producto de los extremos es igual al producto de los medios; es decir, en la proporción a : b = c : d se cumple a·d = b·c.

Conjunto imagen y dominio

Conjunto imagen

Dentro del conjunto de llegada, llamamos conjunto imagen al conjunto de todos los elementos que están relacionados con algún elemento del conjunto de partida.

Conjunto dominio

Conjunto dominio

Dentro del conjunto de partida, llamamos conjunto dominio al conjunto de todos los elementos que están relacionados con algún elemento del conjunto de llegada (es decir, el dominio de la función).

Función biyectiva

Función biyectiva

Una función es biyectiva cuando es inyectiva (a cada imagen le corresponde como máximo una preimagen) y sobreyectiva (toda imagen del codominio tiene al menos una preimagen). En conjunto, esto garantiza una correspondencia uno a uno entre dominio y codominio.

Ceros de una función y crecimiento

Ceros de una función

Los ceros de una función son los valores de x que hacen que la imagen valga 0 (es decir, f(x) = 0).

Comportamiento (monotonía)

• Crece: Intervalos en los que la función aumenta al crecer x.
• Decrece: Intervalos en los que la función disminuye al crecer x.
• Constante: Intervalos en los que la función mantiene el mismo valor para diferentes x.