Conceptos Esenciais de Funcións e Cálculo Diferencial en Matemáticas

Función Cuadrática (y = ax² + bx + c)

Curvatura

• Se a > 0: A parábola é convexa (abre cara arriba).
• Se a < 0: A parábola é cóncava (abre cara abaixo).

Vértice (x, y)

• Coordenada x (x_v): x_v = -b / (2a)
• Coordenada y (y_v): Substitúese o valor de x_v na función orixinal para obter y_v.

Táboa de Valores e Puntos de Corte

• Crear unha táboa de valores asignando diferentes valores a x para obter os correspondentes valores de y.
• Para atopar os puntos de corte cos eixes:
  • Eixe Y: Facer x = 0 e calcular y. O punto será (0, y).
  • Eixe X: Facer y = 0 e resolver a ecuación cuadrática para x. Os puntos serán (x, 0).

Función Afín

Táboa de Valores

• Crear unha táboa de valores asignando diferentes valores a x para obter os correspondentes valores de y.

Continuidade dunha Función

Criterios de Continuidade nun Punto (x = a)

1. Existencia de f(a): Calcular f(a). A función debe estar definida nese punto.
2. Existencia dos Límites Laterais: Calcular o límite cando x tende a a pola esquerda (lim_x→a⁻ f(x)) e pola dereita (lim_x→a⁺ f(x)). Ambos deben existir e ser iguais.
3. Igualdade do Límite e o Valor da Función: Se os límites laterais son iguais e coinciden con f(a), entón a función é continua nese punto.

Tipos de Descontinuidade

• Descontinuidade Evitable: Se o límite existe pero non coincide con f(a), ou se f(a) non existe.
• Descontinuidade Inevitable (de Salto):
  • Salto Finito: Se os límites laterais existen pero son diferentes.
  • Salto Infinito: Se algún dos límites laterais tende a infinito.

Cálculo de Coeficientes (a, b, c) nunha Función

Para calcular os coeficientes a, b, c dunha función f(x) cando se proporcionan condicións como f(n) = valor, f'(n) = valor e f''(n) = valor:

1. Escribir a expresión xeral da función f(x).
2. Calcular a primeira derivada f'(x) e a segunda derivada f''(x).
3. Substituír os valores de n e os resultados dados en cada unha das condicións (f(n), f'(n), f''(n)) para formar un sistema de ecuacións.
4. Resolver o sistema de ecuacións para atopar os valores de a, b, c.

Cálculo da Ecuación da Recta Tanxente

Para calcular a ecuación da recta tanxente a unha función f(x) nun punto x₀, ou paralela a unha recta dada:

1. Punto de Tanxencia (x₀, f(x₀)):
   • Se se dá x₀, calcular f(x₀).
   • Se se pide que sexa paralela a unha recta dada (con pendente m), igualar a derivada da función á pendente m (f'(x) = m) para atopar x₀. Despois, calcular f(x₀).
2. Pendiente da Recta Tanxente (m_t): Calcular a primeira derivada da función, f'(x), e avaliala no punto x₀: m_t = f'(x₀).
3. Ecuación da Recta Tanxente: Utilizar a fórmula punto-pendente: y - f(x₀) = f'(x₀) · (x - x₀).

Comportamento no Infinito (Asíntotas)

Asíntotas Verticais (AV)

As asíntotas verticais atópanse nos puntos onde a función non está definida, xeralmente cando o denominador se anula.

1. Calcular o dominio da función. Se o dominio é R (todos os números reais), non haberá asíntotas verticais.
2. Se o dominio exclúe certos valores (ex: x = a), igualar o denominador a cero para atopar eses valores.
3. Calcular os límites laterais da función cando x tende a eses valores (lim_x→a⁻ f(x) e lim_x→a⁺ f(x)).
4. Se algún destes límites laterais tende a ±∞, entón hai unha asíntota vertical na recta x = a. Os límites laterais indican se a función tende cara arriba ou cara abaixo a cada lado da asíntota.

Asíntotas Horizontais (AH)

Para atopar asíntotas horizontais, calculamos o límite da función cando x tende a infinito.

1. Calcular lim_x→±∞ f(x).
2. Se o límite dá como resultado un número finito L, entón hai unha asíntota horizontal na recta y = L.
3. Condición de Graos: Xeralmente, as asíntotas horizontais existen cando o grao do numerador é menor ou igual ao grao do denominador. Se os graos son iguais, a asíntota é y = coeficiente_principal_numerador / coeficiente_principal_denominador.

Nota: Se existe unha asíntota horizontal, non pode haber asíntota oblicua.

Asíntotas Oblicuas (AO)

As asíntotas oblicuas teñen a forma y = mx + n.

1. Cálculo de m: Calcular m = lim_x→±∞ [f(x) / x]. O valor de m debe ser un número finito e distinto de cero.
2. Cálculo de n: Calcular n = lim_x→±∞ [f(x) - mx]. O valor de n debe ser un número finito.
3. Condición de Graos: Xeralmente, as asíntotas oblicuas existen cando o grao do numerador é exactamente un grao maior que o grao do denominador (ex: grao 4 no numerador e grao 3 no denominador).

Nota: Se existe unha asíntota horizontal, non pode haber asíntota oblicua.

Monotonía e Extremos Relativos

Estudo da Monotonía

1. Calcular a primeira derivada da función, f'(x).
2. Igualar a derivada a cero (f'(x) = 0) para atopar os puntos críticos.
3. Representar estes puntos críticos e os puntos onde a función non está definida (excluídos do dominio) nunha recta numérica para definir os intervalos de estudo.
4. Escoller un valor de proba dentro de cada intervalo e substituílo en f'(x):
   • Se f'(x) > 0 no intervalo, a función é crecente.
   • Se f'(x) < 0 no intervalo, a función é decrecente.

Cálculo de Máximos e Mínimos Relativos

Unha vez identificados os puntos críticos (onde f'(x) = 0 ou f'(x) non existe), para determinar se son máximos ou mínimos relativos e atopar as súas coordenadas:

1. Criterio da Primeira Derivada:
   • Se a función cambia de crecente a decrecente nun punto crítico, hai un máximo relativo.
   • Se a función cambia de decrecente a crecente nun punto crítico, hai un mínimo relativo.
2. Criterio da Segunda Derivada: (Opcional, pero útil)
   • Calcular f''(x).
   • Se f''(x₀) < 0, hai un máximo relativo en x₀.
   • Se f''(x₀) > 0, hai un mínimo relativo en x₀.
   • Se f''(x₀) = 0, o criterio non é concluínte e débese usar o criterio da primeira derivada.
3. Coordenadas dos Extremos: Substituír o valor de x do máximo ou mínimo na función orixinal f(x) para obter a coordenada y do punto (x, f(x)).

Concavidade, Convexidade e Puntos de Inflexión

Estudo da Concavidade e Convexidade

1. Calcular a segunda derivada da función, f''(x).
2. Igualar a segunda derivada a cero (f''(x) = 0) para atopar os posibles puntos de inflexión.
3. Representar estes puntos e os puntos onde a función non está definida (excluídos do dominio) nunha recta numérica para definir os intervalos de estudo.
4. Escoller un valor de proba dentro de cada intervalo e substituílo en f''(x):
   • Se f''(x) > 0 no intervalo, a función é convexa (abre cara arriba).
   • Se f''(x) < 0 no intervalo, a función é cóncava (abre cara abaixo).

Cálculo de Puntos de Inflexión

Para que un punto sexa de inflexión, a concavidade da función debe cambiar nese punto (de cóncava a convexa ou viceversa).

1. Calcular a segunda derivada da función, f''(x).
2. Igualar a segunda derivada a cero (f''(x) = 0) e resolver para x. Estes son os posibles puntos de inflexión.
3. Verificar que a concavidade cambia ao redor destes puntos (usando o estudo de concavidade e convexidade anterior).
4. Substituír o valor de x do punto de inflexión na función orixinal f(x) para obter a coordenada y do punto (x, f(x)).