Conceptos Clave de Vectores en R³ y Matrices

Vectores en R³

Un vector en R³ es un conjunto ordenado de tres números reales, denotado de la siguiente manera: v = (x, y, z).

Componentes de un Vector

Para hallar los componentes de un vector en R³, se deben restar las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Módulo de un Vector

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

Cálculo de los Cosenos Directores y Vectores Ortogonales

Cosenos Directores

Se llaman cosenos directores de un vector a los cosenos de los ángulos que forma dicho vector con los ejes coordenados positivos.

Vectores Ortogonales

Dos o más vectores son ortogonales cuando su producto escalar es igual a cero.

Ángulo entre los Vectores

Operaciones con Matrices

Matrices: Son números o elementos agrupados en filas y columnas.

Orden de una matriz: Una matriz de orden m x n tiene m filas y n columnas.

Igualdad de Matrices

Dos matrices son iguales cuando tienen el mismo orden y los elementos que ocupan idéntica posición en ambas matrices son iguales (A=B).

Clasificación de Matrices

1. Matriz rectangular: Es aquella matriz donde el número de filas es diferente al número de columnas.

Casos Particulares de Matrices Rectangulares

• Matriz fila: Es una matriz de orden 1 x n (matriz que consta de una sola fila).
  Ejemplo: A = (1 2 3 4 6), orden 1x5
• Matriz columna: Es una matriz de orden m x 1 (matriz que consta de una sola columna).
  Ejemplo: A es una matriz 4x1

• Matriz cuadrada: Es aquella matriz que tiene igual número de filas y columnas (m=n).

Casos Particulares de Matrices Cuadradas

• Matriz diagonal: Es toda matriz cuadrada en la que todos los términos no situados en la diagonal principal son ceros.
• Matriz escalar: Una matriz diagonal es escalar cuando los elementos no nulos son iguales.
• Matriz unidad o matriz identidad: Una matriz escalar es identidad cuando los elementos no nulos toman el valor de uno (1).
• Matriz triangular superior: Es toda matriz cuadrada en la que todos los términos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
• Matriz nula: Es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota por .
• Matriz opuesta: De una matriz dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.
• Matriz transpuesta: Es aquella matriz donde se transponen filas por columnas (A&supᵀ;).

Producto de Matrices

Para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz.

Método de Gauss y Método de Gauss-Jordan

Casos que se Presentan al Resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales

1. Cuando el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, el sistema se considera compatible determinado.
2. Cuando el número de incógnitas es mayor al número de ecuaciones, el sistema tiene infinitas soluciones, por lo tanto, se considera compatible indeterminado.
3. Cuando el número de incógnitas es menor al número de ecuaciones, el sistema no tiene solución, por lo tanto, es incompatible.