Conceptos Clave de Variables Aleatorias y Distribuciones en Estadística

- Variable aleatoria: Función que a cada suceso del espacio muestral le asigna un número: X:Ω Rⁿ | W X(w)

- Función de distribución v.a.: Es una función que a cada posible valor de la variable le asigna la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales a ese valor: F:R² R | (x,y) F(x,y) = P(X≤x, Y≤y)

- Función densidad v.a.c.: Sea f: R² R/(x,y) f(x,y) es una función que a cada posible valor de (X,Y) proporciona la densidad de masa probabilística alrededor del punto (x,y); f(x,y) no es la probabilidad en el punto (x,y) sino en el intervalo alrededor del punto. Prop. F(x,y)≥0 ɏ(x,y)ϵ R² | ∫∫_-ꝏ^ꝏ f(x,y) dy dx=1

- X E independientes E(x,y)=E(x)·E(y) ¿?: (x,y) independientes ⇔ f(x,y)= f(x)·f(y) ɏ(x,y)

Entonces E(x,y)=∫∫^ꝏ_-ꝏ xy f(x,y)dx dy= ∫∫xy·f(x)·f(y) dx dy= ((∫x f(x) · ∫y f(y) dy) dx)=E(x)·E(y)

- Cov 2 variables: Cov(x,y)= E(x)·E(y) | Si x e y independientes Cov(x,y)=0

- X v.a.c P(X=a)=0 y P(a: P(X=a)=0 es verdadero, ya que las v.a.c. son continuas por la derecha y por la izquierda P(X=a)=F(a)-F(a)=0 | P(a

- Bernoulli: + Es un experimento en el que solo hay 2 posibles resultados: éxito o fracaso. Donde la probabilidad de éxito se denota por "p" y al fracaso por "q". Las variables asociadas a este experimento solo toman 2 valores: Fracaso=0 P(X=0)=q Éxito=1 P(X=1)=p + Se denota por Xϵ Ver(p) + E(x)=p V(x)= p·q + n pruebas de Bernoulli dan lugar a una variable Binomial: Xϵ Bi(n,p)

- Aproximar Poisson por una Normal: + XϵP(λ), si λ grande Xϵ N(λ,λ) + La aproximación es óptima cuando λ>10, no es buena si λ<5 y en caso 5<λ<10, el factor de corrección permite obtener una buena aproximación.

- Relación T-Student y la Normal: La T-Student se define a partir de la Normal: T= ϵ t_n=T-Student con n grados de libertad donde z,z_i ϵ N(0,1) independientes.

- V.A. X,Y distribución N(0,1) y Cov(x,y)=0,5, distribución X², X-Y ¿?: + X²ϵ X₁²=X² de Pearson con grado 1

+ X-Yϵ N(0,1) Combinación lineal de normales es una normal E(x-y)=E(x)-E(y)=0

V(x-y)=V(x)+V(y)-2Cov(x,y)=1+1-2·0,5=1

- Zϵ N(0,1) E Y=1+Z+Z² ¿E(y)?: E(y)=1+E(z)+E(z²)=1+0+1=2 + obtenemos: E(z²) V(z)=E(z²)+E(z)² 1=E(z²)+0 E(z²)=1

- Distribución para modelizar las siguientes variables: a) nº correos que recibe 1 individuo/día: XϵP(λ); λ=E(correos electrónicos en 1 día) b) nº productos defectuosos/lote de uds: XϵBi(n,p); n=nº de uds., p=P(producto defectuoso)

- Cantidad de agua utilizada diariamente por una familia, ¿distribución binomial?: FALSO: la cantidad de agua utilizada diariamente toma ꝏ valores dentro de un intervalo, por lo que se trata de una variable aleatoria continua y la distribución binomial es una variable aleatoria discreta.

- Teorema Central del Límite: Si x₁,x₂,….x_n son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media μ y varianza Ѳ², si n grande (n>30) la suma de todas las variables se aproxima a una distribución normal: o ∑₁ⁿX_iàN(nμ, nѲ²)

- Variable aleatoria discreta: Es discreta cuando toma un número finito o infinito numerable de valores, es decir, toma valores aislados. Ej. Nº de empleados de un determinado sector

- Variable aleatoria continua: Se dice que X es una variable continua si toma valores en un intervalo, es decir, un nº infinito de valores, valores no numerables. Ej. Ritmo de crecimiento de una actividad económica.

- Def. Frecuentista: P(A)=lim_n->ꝏf(A)= lim_n->ꝏ La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un nº a medida que el nº de pruebas del experimento crece indefinidamente. A ese nº se le llama probabilidad del suceso.

- A y B incompatibles y de probabilidad nula: entonces A y B no son independientes.

+ Si A y B independientes P(A∩B)= P(A)·P(B)>0 + A y B incompatibles P(A∪B)=P(Ø)=0

- Independencia: A y B independientes ⇔ P(A/B)= P(A) Dem. P(A/B)== , Entonces P(A∩B)=P(A/B)·P(B)=P(A)·P(B) A y B independientes.