Conceptos Clave: Sucesiones, Progresiones y Álgebra Fundamental
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Conceptos Fundamentales de Álgebra
Sucesiones
Definiciones Clave
Una sucesión de números reales es cualquier cadena ilimitada de números reales.
El término general de una sucesión es la expresión algebraica que permite calcular cualquier término en función de su índice.
Una sucesión es recurrente cuando sus términos a partir de uno dado se definen en función de los términos anteriores de acuerdo con una expresión algebraica conocida.
Tipos de Sucesiones
Progresión Aritmética
Una sucesión de números reales es una progresión aritmética si cada término se obtiene a partir del anterior sumándole un número fijo o diferencia, que se representa con d.
Término General
an = a1 + (n-1) * d
Suma de n Términos
La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:
Sn = ((a1 + an) / 2) * n
Progresión Geométrica
Una sucesión de números reales es una progresión geométrica si cada término se obtiene a partir del anterior multiplicándolo por un número fijo o razón, que se representa con r.
Término General
an = a1 * rn-1
Suma de n Términos
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:
Sn = (an * r - a1) / (r - 1) (si r ≠ 1)
Expresiones Algebraicas
Definición y Componentes
Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas.
Las letras se llaman variables, incógnitas o indeterminadas.
Valor Numérico
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las variables por números determinados y efectuar las operaciones indicadas en la expresión.
Expresiones Equivalentes
Dos expresiones algebraicas son equivalentes si los valores numéricos que toman para cualquier valor de sus variables son iguales.
Monomios y Polinomios
Monomio
Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número real y una o más variables elevadas a exponentes naturales.
Grado de un Monomio
El grado de un monomio es la suma de los exponentes de todas sus variables.
Monomios Semejantes
Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.
Polinomio
Un polinomio es la suma indicada de varios monomios no semejantes.
Grado de un Polinomio
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos.
Identidades Notables
(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
(a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)