Conceptos Clave de Relaciones Funcionales en Matemáticas

1. Relaciones Funcionales

Una función es una relación entre dos magnitudes o variables numéricas, X e Y, tal que a cada valor de x le corresponde un único valor de Y.

• La magnitud en la que se pueden elegir libremente los valores se denomina variable independiente y se denota con la letra X.

• La magnitud en la que los valores se obtienen por la relación funcional es la variable dependiente, que se indica con la letra Y.

2. Propiedades de las Funciones

2.1. Dominio y Recorrido

• El dominio de una función es el conjunto de los valores que puede tomar la variable independiente, y se denota Dom f.

• El recorrido de una función es el conjunto formado por los valores que toma la variable dependiente.

2.2. Puntos de Corte

• Los puntos de corte con el eje de abscisas son de la forma (x, 0), donde el valor de x se calcula resolviendo la ecuación f(x) = 0.

• El punto de corte con el eje de ordenadas es un punto de la forma (0, y). El valor de y se obtiene hallando f(0).

3. Continuidad

Una función es continua en un intervalo si su gráfica no presenta saltos o interrupciones en dicho intervalo.

No todas las funciones son continuas en todo su dominio. Los puntos donde una función presenta saltos se llaman puntos de discontinuidad.

4. Crecimiento, Máximos y Mínimos

• Una función es creciente en un intervalo abierto si al aumentar los valores de la variable independiente, x, también aumentan los de la variable dependiente, f(x).

• Una función es decreciente en un intervalo abierto si al aumentar los valores de la variable independiente, x, disminuyen los de la variable dependiente f(x).

• Una función es constante en un intervalo cuando no crece ni decrece en ese intervalo.

• Un punto (a, f(a)) de una función continua es un máximo si en este punto la función pasa de ser creciente a ser decreciente.

• Un punto (a, f(a)) de una función continua es un mínimo si en este punto la función pasa de ser decreciente a ser creciente.

5. Simetría y Periodicidad

• Una función tiene simetría par si es simétrica respecto del eje de ordenadas: f(-x) = f(x).

• Una función tiene simetría impar si es simétrica respecto del origen de coordenadas: f(-x) = -f(x).

Una función es periódica de período T cuando el comportamiento de la función en el intervalo (x, x + T) se repite en intervalos sucesivos.

6. Interpretación de Gráficas

Al interpretar la gráfica de una función hay que seguir estos pasos:

1. Reconocer la variable independiente y la dependiente.
2. Identificar el dominio y el recorrido de la función.
3. Hallar los puntos de corte con los ejes.
4. Estudiar la continuidad.
5. Analizar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
6. Establecer si la función tiene máximos y mínimos.
7. Estudiar la simetría.
8. Distinguir si es una función periódica.