Conceptos Clave de Probabilidad y Estadística: Preguntas y Respuestas Esenciales

Conceptos Clave de Probabilidad y Estadística: Preguntas y Respuestas

1. La probabilidad de cualquier suceso toma valores:

   Respuesta: Entre 0 y 1 (ambos inclusive).

2. ¿Qué parámetros determinan la función de distribución normal?

   Respuesta: La media (μ) y la desviación estándar (σ).

3. Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, se cumple que:

   Respuesta: Menor es la varianza del estimador de la media muestral (conocida como error estándar de la media).

4. ¿Qué característica se cumple cuando dos sucesos son compatibles?

   Respuesta: Pueden ocurrir simultáneamente, es decir, su intersección no es vacía (P(A ∩ B) > 0).

5. Dados dos sucesos incompatibles, A y B, sabiendo que P(A) = 0,10 y P(B) = 0,20, ¿cuál es la probabilidad de que se dé al menos uno de ellos (A o B)?

   Respuesta: Para sucesos incompatibles (mutuamente excluyentes), la probabilidad de que ocurra A o B es P(A U B) = P(A) + P(B).
   P(A U B) = 0,10 + 0,20 = 0,30.

6. Dados dos sucesos compatibles, A y B, sabiendo que P(A) = 0,10 y P(B) = 0,20, ¿cuál es la probabilidad de que ambos ocurran en forma simultánea (A y B)?

   Respuesta: Para calcular P(A ∩ B) siendo A y B compatibles, se necesita más información, como P(A|B), P(B|A) o P(A U B). Si se asume que los sucesos son también independientes (además de compatibles), entonces P(A ∩ B) = P(A) * P(B).
   Bajo el supuesto de independencia: P(A ∩ B) = 0,10 * 0,20 = 0,02.
   Nota: La compatibilidad por sí sola solo significa que P(A ∩ B) puede ser mayor que 0, pero no define cómo calcularla sin más datos o supuestos. La respuesta original (0,10 x 0,20) implica independencia.

7. Una distribución normal cumple con la siguiente característica:

   Respuesta: Es simétrica respecto a su media. La media, la mediana y la moda son iguales y se encuentran en el centro de la distribución.

8. La probabilidad de padecer la patología corresponde a:

   Respuesta: P = 932/1000 = 0,932. (Este valor depende del contexto específico del problema del que se extrajo).

9. La probabilidad condicionada corresponde a:

   Respuesta: P(Diabetes | Glucosuria) = 200/1000 = 0,2. (Esto representa la probabilidad de tener diabetes dado que se tiene glucosuria, y depende del contexto específico del problema).

10. ¿Cómo se demuestra la dependencia entre dos sucesos (por ejemplo, A y B)?

    Respuesta: La dependencia entre dos sucesos A y B se demuestra si se cumple alguna de las siguientes condiciones (que son equivalentes):

    • P(A ∩ B) ≠ P(A) * P(B)
    • P(A|B) ≠ P(A)
    • P(B|A) ≠ P(B)
    Por ejemplo, en el contexto de diabetes y glucosuria, si P(Glucosuria | Diabetes) ≠ P(Glucosuria), los sucesos son dependientes.

11. ¿Cuál es la afirmación correcta?

    Opciones:

    • R1: La probabilidad de tener glucosuria depende de la patología diabetes.
    • R2: La probabilidad de tener glucosuria es independiente de la patología diabetes.
    (La respuesta correcta dependerá de los datos epidemiológicos reales o del contexto del problema. Generalmente, se considera que existe una dependencia médica entre ambas condiciones).

12. Para una hipótesis nula (H₀) específica, ¿cómo se plantea la hipótesis alternativa (H₁ o Hₐ)?

    Respuesta: La hipótesis alternativa (H₁ o Hₐ) es una afirmación que contradice a la hipótesis nula (H₀). Su formulación depende de H₀ y del tipo de prueba (bilateral o unilateral).

    • Si H₀: μ = k (la media poblacional es igual a un valor k), entonces H₁ podría ser: μ ≠ k (bilateral: la media es diferente de k), μ > k (unilateral derecha: la media es mayor que k), o μ < k (unilateral izquierda: la media es menor que k).
    • Si H₀: p₁ = p₂ (dos proporciones poblacionales son iguales), entonces H₁ podría ser: p₁ ≠ p₂, p₁ > p₂, o p₁ < p₂.
    (Se debe completar según el contexto específico de H₀). La respuesta original estaba vacía.

13. Considerando una distribución normal estándar (media = 0 y desviación estándar = 1) y un intervalo de confianza del 95% (es decir, α = 0,05), ¿qué se puede afirmar?

    Respuesta: Se puede afirmar que los valores críticos Z (puntuaciones Z) que delimitan el 95% central de la distribución son aproximadamente ±1,96. Esto significa que el intervalo [-1,96, 1,96] para Z captura el 95% de los valores en una distribución normal estándar.
    (La afirmación original "que los intervalos de confianza con alfa es 0,1 y alfa es 0,05 son iguales" es incorrecta. Un intervalo de confianza con α=0,10 corresponde a un nivel de confianza del 90%, que es diferente y más estrecho que un intervalo de confianza del 95% con α=0,05).

14. En una correlación, si el coeficiente de correlación r = -1, ¿qué se puede afirmar correctamente?

    Respuesta: Se puede afirmar que existe una correlación lineal negativa perfecta entre las dos variables. Esto significa que todos los puntos de datos caen exactamente sobre una línea recta con pendiente negativa. A medida que una variable aumenta, la otra disminuye de forma proporcional y perfectamente predecible.
    (La afirmación original "el nivel de significancia es igual a 1" es incorrecta. Con r = -1, el p-valor asociado a la prueba de H₀: ρ = 0 (correlación nula) sería muy cercano a 0, indicando una correlación altamente significativa, asumiendo un tamaño de muestra adecuado).

15. ¿Qué gráfica debería representar mejor una regresión lineal?

    Respuesta: B. (Esta respuesta depende de las gráficas A, B, C, D, etc., que no se proporcionan en el texto. Una gráfica que representa bien una regresión lineal mostraría puntos de datos que tienden a agruparse alrededor de una línea recta).

16. ¿A qué gráfica le corresponde el valor de "r" (coeficiente de correlación) más adecuado?

    Respuesta: Gráfica D, r = 1. (Esto implica que la gráfica D, no proporcionada, muestra una correlación lineal positiva perfecta, con todos los puntos sobre una recta con pendiente positiva).

17. ¿Qué valor de "r" representa mejor las gráficas?

    Respuesta: Gráfica A, r cercano a 0,5. (Esto implica que la gráfica A, no proporcionada, muestra una correlación lineal positiva moderada).

18. ¿Qué gráfica(s) no representa(n) una tendencia lineal?

    Respuesta: Gráfica(s) D.
    Nota: Esta respuesta presenta una inconsistencia con la respuesta a la pregunta 16, donde se afirma que la gráfica D tiene r=1 (tendencia lineal perfecta). Si la gráfica D tiene r=1, entonces SÍ representa una tendencia lineal. Una gráfica que no representa una tendencia lineal podría mostrar una curva (ej. parabólica), una dispersión aleatoria de puntos sin patrón claro, o un patrón no lineal. Es posible que se refiera a una gráfica D diferente o haya un error en las respuestas originales.

19. El intercepto es:

    Respuesta: -216. (Este es el valor de la ordenada al origen 'a' en una ecuación de regresión lineal de la forma y = a + bx).

20. La pendiente es:

    Respuesta: +3,46. (Este es el valor del coeficiente de regresión 'b' en una ecuación de regresión lineal y = a + bx, e indica el cambio en 'y' por cada unidad de cambio en 'x').

21. La correlación es de tipo:

    Respuesta: Directa (o positiva). (Esto es consistente con una pendiente positiva, indicando que a medida que una variable aumenta, la otra también tiende a aumentar).

22. La hipótesis nula (H₀) planteada correctamente es:

    Respuesta: Los tiempos medios de operación de las máquinas son iguales. (Ejemplo formal: H₀: μ₁ = μ₂, donde μ₁ y μ₂ son los tiempos medios de operación de dos máquinas o grupos).

23. La hipótesis alternativa (H₁) planteada correctamente es:

    Respuesta: Los tiempos medios de operación de las máquinas son diferentes. (Ejemplo formal: H₁: μ₁ ≠ μ₂, que correspondería a una prueba bilateral).

24. Para una prueba de hipótesis unilateral (por ejemplo, H₁: μ > μ₀), si se obtiene un valor Z de prueba (experimental) = 1,4 de una muestra, y se compara con el valor Z crítico (de tabla), ¿qué se puede afirmar?

    Respuesta: Se rechaza la hipótesis nula (H₀) si el valor Z de prueba cae en la región de rechazo determinada por el valor Z crítico y la dirección de la prueba.

    • Si la prueba es de cola derecha (ej. H₁: μ > μ₀), se rechaza H₀ si Z_prueba > Z_crítico. Si Z_crítico fuera 1,3 (como se infiere de la respuesta original), entonces como 1,4 > 1,3, se rechazaría H₀.
    • Si la prueba es de cola izquierda (ej. H₁: μ < μ₀), se rechaza H₀ si Z_prueba < -Z_crítico (donde Z_crítico es positivo).
    (Nota: La respuesta original mencionaba "t crítico". Es crucial usar el estadístico correcto (Z o t) según las condiciones de la prueba, como si la desviación estándar poblacional es conocida y el tamaño de la muestra. Si se usa Z, se compara con Z_crítico).