Conceptos Clave de Matrices: Definiciones y Propiedades Esenciales
Enviado por Programa Chuletas y clasificado en Matemáticas
Escrito el en 
español con un tamaño de 3,96 KB
Matriz
Se llama matriz de orden m × n con coeficientes en un cuerpo (K, +, ·), a una tabla formada por m · n elementos de K, dispuestos en m filas y n columnas. Si m = n, la matriz es cuadrada y se dice matriz de orden n.
Matriz Traspuesta
Dada una matriz A ∈ Mm×n(K), se llama traspuesta de A, y se denota AT, a la matriz de Mn×m(K) cuyas filas son las columnas de A.
Matriz Simétrica
Una matriz es simétrica si AT = A.
Matriz Antisimétrica
Una matriz es antisimétrica si AT = −A.
Matriz Inversa
Una matriz A ∈ Mn(K) se dice que es invertible/regular si existe otra matriz que denotaremos A−1 ∈ Mn(K) tal que: A−1 · A = A · A−1 = I. A−1 es la matriz inversa de A.
Matriz Escalonada
Una matriz es escalonada si se verifica que cada una de las filas de la matriz comienza con una sucesión de ceros que tiene al menos un cero más que la fila anterior. (Si alguna de las filas fuese de ceros completos, estas ocuparían las últimas posiciones).
Rango de una Matriz
Se llama rango de una matriz A, y se denota rg(A), al número de filas no nulas que tiene una matriz escalonada obtenida a partir de A mediante operaciones elementales. Una matriz A ∈ Mn(K) es invertible si, y solo si, rg(A) = n.
Teorema del Rango
El rango de una matriz coincide con el de su traspuesta.
Método de Gauss
Consiste en realizar operaciones con las ecuaciones que transformen el sistema en otro con las mismas soluciones que el original, pero más sencillo (uno escalonado).
Resolución de Sistemas
Diremos que hemos resuelto un sistema cuando conozcamos todas y cada una de sus soluciones. Diremos que el sistema es compatible siempre que tenga alguna solución y que es incompatible si carece de ellas. Un sistema compatible se dice compatible determinado cuando tiene una única solución, y se dice compatible indeterminado si tiene más de una solución (entonces tendrá infinitas). Se dice que dos sistemas son equivalentes si admiten exactamente las mismas soluciones.
Teorema de Rouche-Frobenius
Consideremos el sistema AX = b siendo A ∈ Mm×n(R), b ∈ Mm×1(R) y B = (A|b) su matriz ampliada. Entonces:
- Si rg(A) ≠ rg(B), el sistema es incompatible (no tiene solución).
- Si rg(A) = r = rg(B), el sistema es compatible. En este caso:
- Si rg(A) = r = rg(B) = n, el sistema es compatible determinado (solución única).
- Si rg(A) = r = rg(B), el sistema es compatible indeterminado.
Sistema Homogéneo
Dado un sistema AX = b, se llama sistema homogéneo asociado a: AX = O donde O es la columna de ceros del mismo tamaño que b. Si el sistema AX = b es compatible con p = (α1, α2, ..., αn) una solución de dicho sistema, y Sh es el conjunto de soluciones del sistema AX = O, entonces el conjunto S de todas las soluciones de AX = b se puede escribir:
S = {t = (β1, β2, ..., βn) | t = p + ph con ph ∈ Sh}