Conceptos Clave de Matemáticas: Geometría, Unidades de Medida y Fracciones

Conceptos Fundamentales de Matemáticas

1. Fórmulas de Área para Figuras Planas

• Círculo: A = π × r²
• Triángulo: A = (b × h) / 2
• Rombo: A = (D × d) / 2
• Romboide: A = b × h
• Trapecio: A = ((B + b) × h) / 2
• Rectángulo: A = b × h
• Cuadrado: A = l × l
• Polígonos regulares: A = (p × a) / 2

2. Elementos de los Cuerpos Geométricos

• Caras: Son los polígonos que forman su superficie.
• Aristas: Son segmentos que constituyen los lados de las caras. Cada arista es la frontera de dos caras.
• Vértices: Son los puntos extremos de las aristas. En cada vértice concurren tres o más caras.

3. Unidades de Superficie

• El decámetro cuadrado (dam²) es la superficie de un cuadrado de 10 m por lado.
• El hectómetro cuadrado (hm²) es la superficie de un cuadrado de 100 m por lado.
• El kilómetro cuadrado (km²) es la superficie de un cuadrado de 1000 m por lado.

Equivalencias comunes:

• El área (a) comprende 100 m².
• La hectárea (ha) comprende 100 a.

4. Comparación de Fracciones

¿Cómo saber si una fracción es mayor o menor que otra?

Para ello, distinguiremos los siguientes casos:

• Comparar fracciones con el mismo denominador.
• Comparar fracciones con distinto denominador.

a) Comparación de fracciones con el mismo denominador

Es mayor la fracción que posee el numerador más grande.

• Podemos comprobar que 2/4 = 0,5, mientras que 1/4 = 0,25. Por lo tanto, la primera fracción es mayor.
• También podemos comprobar que 5/9 ≈ 0,55, mientras que 3/9 ≈ 0,33. Por lo tanto, la primera fracción es mayor.

b) Comparación de fracciones con distinto denominador

En este caso, puede ocurrir que tengan el mismo numerador o que sean diferentes.

b.1. Fracciones con el mismo numerador

Si tienen el mismo numerador, es mayor la fracción que tenga el denominador más pequeño.

• En este caso, comprobamos que 8/3 ≈ 2,66, mientras que 8/5 = 1,60. Por lo tanto, la primera fracción es mayor.
• También podemos ver que 6/2 = 3,00, mientras que 6/4 = 1,50. Por lo tanto, la primera fracción es mayor.

b.2. Fracciones con distinto numerador y denominador (Método de multiplicación cruzada)

Para poder compararlas, hay que expresarlas con el mismo denominador:

• Si los dos términos (numerador y denominador) de una fracción se multiplican por el mismo número, la fracción resultante es equivalente.
• Para compararlas, multiplicamos la primera fracción por el denominador de la segunda, y la segunda por el denominador de la primera.

Veamos un ejemplo práctico:

Para comparar estas dos fracciones, multiplicaremos los dos términos de la primera fracción por 2 (el denominador de la segunda).

• Podemos comprobar que al multiplicar numerador y denominador por el mismo número, la fracción no cambia: 3/7 ≈ 0,428, mientras que 6/14 ≈ 0,428.

Luego, multiplicaremos los dos términos de la segunda fracción por 7 (el denominador de la primera).

Ahora que ambas fracciones tienen el mismo denominador, podemos compararlas fácilmente:

Observamos que la segunda fracción es mayor que la primera, ya que su numerador es más grande.

b.3. Comparación utilizando el Mínimo Común Múltiplo (MCM)

Si tienen distinto numerador, también se pueden calcular fracciones con el mismo denominador utilizando el método del Mínimo Común Múltiplo.

Veamos un ejemplo:

Calculamos los múltiplos de cada denominador para encontrar el MCM:

• Múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70...
• Múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90...

Hemos señalado en negrita el número 30 porque es el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de ambos denominadores. Aunque 60 también es un múltiplo común, 30 es el menor.

Utilizaremos este Mínimo Común Múltiplo (MCM) como denominador común para ambas fracciones. Para que las nuevas fracciones sean equivalentes a las originales, debemos ajustar sus numeradores. ¿Cómo lo hacemos?

• En la primera fracción, sustituimos su denominador 10 por 30. Esto implica que multiplicamos el antiguo denominador por 3. Para mantener la equivalencia, también debemos multiplicar su numerador por 3.
• En la segunda fracción, sustituimos su denominador 15 por 30. Esto significa que lo multiplicamos por 2. Por lo tanto, también debemos multiplicar su numerador por 2.

Ahora que ambas fracciones tienen el mismo denominador, podemos compararlas: