Conceptos Clave de Matemáticas: Funciones, Vectores y Productos Notables
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Conceptos Fundamentales de Funciones
Una función es una relación entre dos conjuntos, el conjunto de partida (o dominio) y el conjunto de llegada (o codominio), donde a cada elemento del conjunto de partida le corresponde exactamente una imagen en el conjunto de llegada.
Tipos de Funciones
Inyectiva (o Uno a Uno): Si cada elemento diferente del conjunto de partida tiene imágenes diferentes en el conjunto de llegada. Es decir, si f(a) = f(b), entonces a = b.
Biyectiva: Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.
Sobreyectiva (o Exhaustiva): Si el rango (o conjunto imagen) de la función coincide con el conjunto de llegada (o codominio).
Introducción a los Vectores
Un vector es un segmento de recta orientado que representa una magnitud física con dirección y sentido.
Elementos de un Vector
Dirección: Viene dada por la recta que contiene al vector.
Sentido: Indicado por la orientación de la flecha en el extremo del vector.
Módulo o Norma: Es la longitud o magnitud del vector, es decir, la distancia entre su origen y su extremo.
Punto de Aplicación: Es el punto de origen desde donde parte el vector.
Componentes de un Vector
Dado un vector AB, si denotamos por (x1, y1) las coordenadas del punto A (origen) y por (x2, y2) las coordenadas del punto B (extremo), entonces el par ordenado (x2 - x1, y2 - y1) son las componentes del vector AB. En otras palabras, para calcular las componentes de un vector, se restan las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen del vector.
Tipos Especiales de Vectores
Vector Unitario: Es un vector cuyo módulo (o magnitud) es igual a uno.
Vector Nulo: Es un vector cuyo módulo es igual a cero. Sus componentes son todas cero.
Vectores Opuestos: Dos vectores son opuestos si tienen la misma dirección y el mismo módulo, pero sentidos contrarios.
Vectores Equipolentes: Dos o más vectores son equipolentes cuando tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo.
Vectores Ortogonales (o Perpendiculares): Dos vectores son ortogonales si se intersecan formando un ángulo de 90°.
Productos Notables: Fórmulas Esenciales
Los productos notables son casos especiales de la multiplicación de polinomios que aparecen frecuentemente y cuyas soluciones pueden memorizarse para simplificar cálculos. Hacen referencia al producto de un binomio por sí mismo o al producto de binomios específicos.
1. Cuadrado de la Suma de Dos Términos
Nombre: Cuadrado de la suma de dos términos (o cuadrado de un binomio suma).
Forma: (a + b)2
Donde:
- a: Primer término
- b: Segundo término
Desarrollo Teórico
El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.
Desarrollo Simbólico
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. Cuadrado de la Diferencia de Dos Términos
Nombre: Cuadrado de la diferencia de dos términos (o cuadrado de un binomio resta).
Forma: (x - y)2
Desarrollo Teórico
El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.
Desarrollo Simbólico
(x - y)2 = x2 - 2xy + y2
Ejemplo:
(3m - 9)2 = (3m)2 - 2(3m)(9) + 92 = 9m2 - 54m + 81
3. Producto de la Suma por la Diferencia de Dos Términos
Nombre: Producto de la suma por la diferencia de dos términos (o diferencia de cuadrados).
Forma: (x + a)(x - a)
Desarrollo Teórico
El producto de la suma por la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término, menos el cuadrado del segundo término.
Desarrollo Simbólico
(x + a)(x - a) = x2 - a2