Conceptos Clave de Impedancia, Admitancia y Rendimiento de Transformadores
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Impedancias y Admitancias en Circuitos de Corriente Alterna
Relaciones Fasoriales
Las relaciones fasoriales entre tensión (U) y corriente (I) para los componentes pasivos básicos son:
- Resistencia (R):
U = R * I - Inductor (L):
U = jωL * I - Capacitor (C):
U = (1 / (jωC)) * I = -j(1 / ωC) * I
Impedancia Compleja (Z)
La impedancia compleja, denotada como Z(jω), establece la relación entre el fasor de tensión y el fasor de corriente. [Ver dib1]
Es importante destacar que Z o Z(jω) es un número complejo, pero no es un fasor, ya que no se corresponde con una función sinusoidal en el dominio del tiempo. Para los elementos pasivos básicos, se cumple:
- Resistencia:
Z = R - Inductor:
Z = jωL - Capacitor:
Z = 1 / jωC
En estas ecuaciones, cada término representa el cociente entre un fasor de tensión y un fasor de corriente.
- Para la resistencia, la impedancia es un número real.
- Para la inductancia, es un número imaginario con argumento π/2.
- Para la capacidad, es un número imaginario con argumento –π/2.
Expresión de la Impedancia
La impedancia se expresa en forma rectangular como: Z = R + jX, donde:
- R: Es la parte real, conocida como resistencia.
- X: Es la parte imaginaria, conocida como reactancia.
El módulo y el ángulo (o fase) de la impedancia se calculan como:
- Módulo:
|Z| = √(R² + X²) - Ángulo:
φ = arctg(X/R)
Triángulo de Impedancias
A partir de la forma polar, se define el triángulo de impedancias: [Ver dib2]
R = |Z| * cos(φ)X = |Z| * sen(φ)
Admitancia (Y)
La inversa de la impedancia se denomina admitancia (Y). Se expresa como: Y = 1/Z = G + jB, donde:
- G: Es la parte real, llamada conductancia.
- B: Es la parte imaginaria, llamada susceptancia.
Las fórmulas para G y B en función de R y X son:
G = R / (R² + X²)B = -X / (R² + X²)
Es crucial notar que G no es simplemente la inversa de R, excepto en un circuito puramente resistivo (X=0). De manera similar, en un circuito puramente reactivo (R=0), se cumple que B = -1/X.
Por tanto, las expresiones de las admitancias para los elementos pasivos simples son:
- Resistencia:
Y = G - Inductor:
Y = -j / (ωL) - Capacitor:
Y = jωC
Caída de Tensión y Rendimiento en Transformadores
Caída de Tensión
Se define como la diferencia aritmética o escalar entre la tensión secundaria en vacío (V20) y la tensión en el secundario (V2) cuando se conecta una carga. Esta caída se debe a la impedancia interna del transformador.
La caída de tensión absoluta es: ΔV = V20 - V2
Regulación o Caída de Tensión Relativa
Es la caída de tensión interna expresada como un porcentaje de la tensión secundaria asignada en vacío.
εc = [(V20 - V2) / V20] * 100%
Al reducir el circuito al primario, la fórmula equivalente es:
εc = [(V1n - V2') / V1n] * 100%
Cálculo de la Caída de Tensión
Si consideramos que el transformador alimenta una carga con una corriente secundaria I2 y un factor de potencia (fdp) inductivo (en retraso), podemos aplicar la segunda ley de Kirchhoff. Al hacerlo, obtenemos la siguiente ecuación que permite calcular la tensión secundaria reducida (V2'): [Ver fig3]
V1n = V2' + (Rcc + jXcc) * I2'
La caída de tensión absoluta se puede aproximar como:
V1n - V2' ≈ Rcc * I2' * cos(φ2) + Xcc * I2' * sen(φ2)
El índice de carga (C) se define como la relación entre la corriente de carga actual y la corriente nominal:
C = I2 / I2n = I2' / I2n' = I1 / I1n
Efecto Ferranti
En el caso de un factor de potencia capacitivo, la caída de tensión puede ser negativa (V2' > V1n y V2 > V20). Esto significa que la tensión en la carga es superior a la tensión en vacío. Este fenómeno se conoce como Efecto Ferranti.
Pérdidas y Rendimiento de un Transformador
Un transformador, como toda máquina eléctrica, tiene pérdidas que se clasifican en:
- Pérdidas fijas (en el hierro): PFe = P0
- Pérdidas variables (en el cobre): Pcu = Pcc (a plena carga). Estas dependen del cuadrado del índice de carga: Pcu(C) = C² * Pcc.
Cálculo del Rendimiento (η)
El rendimiento (η) se define como el cociente entre la potencia útil (secundaria) y la potencia total de entrada (primaria):
η = P2 / P1 = P2 / (P2 + Pp), donde Pp son las pérdidas totales.
Si el secundario suministra una corriente I2 a una tensión V2 con un factor de potencia cos(φ2), las potencias son:
- Potencia de salida (P2):
P2 = V2 * I2 * cos(φ2) = C * P2n * cos(φ2)(donde P2n es la potencia nominal) - Pérdidas totales (Pp):
Pp = PFe + Pcu = P0 + C² * Pcc
La fórmula del rendimiento en función del índice de carga es:
η = (C * P2n * cos(φ2)) / (C * P2n * cos(φ2) + P0 + C² * Pcc)
Rendimiento Máximo e Índice de Carga Óptimo
El rendimiento es máximo cuando las pérdidas fijas igualan a las variables. El índice de carga óptimo para el rendimiento máximo es:
Copt = √(P0 / Pcc)
Normalmente, un transformador no siempre trabaja a plena carga (C=1). Los valores típicos del índice de carga son:
- Transformadores de centrales eléctricas: C ≈ 0.5 - 0.7
- Transformadores de distribución (pequeña potencia): C ≈ 0.3 - 0.5