Conceptos Clave de Geometría: Puntos Notables, Poliedros y Teoremas Fundamentales

Puntos Notables del Triángulo

Definiciones Fundamentales

Mediana

Segmento que une cada vértice con el punto medio del lado opuesto.

Bisectriz

Recta que pasa por el vértice y divide al ángulo interno en dos partes iguales.

Altura

Segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Mediatriz

Recta perpendicular a un lado del triángulo que pasa por su punto medio.

Puntos de Concurrencia y sus Propiedades

Baricentro

Punto de corte de las tres medianas de un triángulo.

• Siempre está situado en el interior del triángulo.
• Se encuentra sobre la mediana a doble distancia del vértice que del lado (divide a cada mediana en una proporción de 2:1).

Incentro

Punto de corte de las tres bisectrices de un triángulo.

• Siempre está situado en el interior del triángulo.
• Está a la misma distancia de los tres lados del triángulo. Por ello, se puede dibujar una circunferencia con centro en el incentro y que sea tangente a los tres lados, llamada circunferencia inscrita.

Ortocentro

Punto de corte de las tres alturas de un triángulo.

• Puede estar en el interior del triángulo (en los triángulos acutángulos), sobre los lados o vértices (en los triángulos rectángulos) o incluso fuera del triángulo (en los triángulos obtusángulos).
• En los triángulos rectángulos, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

Circuncentro

Punto de corte de las tres mediatrices de un triángulo.

• Está a la misma distancia de los tres vértices del triángulo. Por ello, se puede dibujar una circunferencia con centro en el circuncentro y que pase por los tres vértices, llamada circunferencia circunscrita.
• Puede estar en el interior del triángulo (en los triángulos acutángulos), sobre los lados o vértices (en los triángulos rectángulos) o incluso fuera del triángulo (en los triángulos obtusángulos).
• En los triángulos rectángulos, el circuncentro está en el punto medio de la hipotenusa.

Relaciones entre los Puntos Notables

• En cualquier triángulo, el ortocentro, el circuncentro y el baricentro están siempre sobre la misma recta, que se conoce como la recta de Euler.
• En los triángulos equiláteros, el ortocentro, el baricentro, el circuncentro y el incentro están en el mismo punto.

Geometría del Espacio: Poliedros y Cuerpos Geométricos

Definiciones y Elementos de los Poliedros

Poliedros

Son cuerpos geométricos limitados por polígonos.

Caras

Son los polígonos que limitan el poliedro y separan su interior del exterior.

Arista

Es la intersección de dos caras consecutivas. Cada arista es común a dos caras.

Vértice

Es el vértice de los polígonos que limitan el poliedro. Cada vértice es común a tres o más aristas.

Tipos de Poliedros

Poliedros Regulares

Son aquellos poliedros cuyas caras son polígonos regulares iguales y en todos los vértices concurre el mismo número de caras.

Poliedros Arquimedianos

Son aquellos poliedros que tienen como caras polígonos regulares de dos o más clases, iguales entre sí por clases, y dispuestos de la misma manera en cada vértice.

Cuerpos Geométricos Comunes

Prisma

Es un cuerpo geométrico limitado por dos polígonos iguales y paralelos llamados bases, y por caras laterales que son paralelogramos y comparten un lado con cada base.

Paralelepípedo

Es un prisma cuyas bases son paralelogramos. Por tanto, tiene seis caras, todas ellas paralelogramos, y las caras opuestas son iguales y paralelas.

Pirámide

Es un cuerpo geométrico limitado por un polígono llamado base, y por caras laterales que son triángulos con un vértice común.

Teoremas Clave en Geometría

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo se cumple que la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos es igual al cuadrado de la longitud de su hipotenusa.

Teorema de Thales

Si dos rectas cualesquiera son cortadas por rectas paralelas, los segmentos que determina en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra.