Conceptos Clave de Geometría Analítica Plana: Puntos, Rectas y Triángulos
Enviado por Chuletator online y clasificado en Matemáticas
Escrito el en 
español con un tamaño de 8,92 KB
Punto Medio y Punto Simétrico
Punto Medio
El punto medio M entre dos puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂) se calcula como:
M = ( (x₁ + x₂) / 2 , (y₁ + y₂) / 2 )
Punto Simétrico
El punto simétrico A' de un punto A(x₁, y₁) respecto a otro punto B(x₂, y₂) se calcula como:
A' = ( 2x₂ - x₁ , 2y₂ - y₁ )
Nota: B es el punto medio del segmento AA'.
Ecuaciones de la Recta
Una recta puede definirse por un punto P(p₁, p₂) y un vector director d = (d₁, d₂).
Ecuación Vectorial
(x, y) = (p₁, p₂) + λ(d₁, d₂), donde λ es un parámetro real.
Ecuaciones Paramétricas
{ x = p₁ + λd₁
{ y = p₂ + λd₂
Ecuación Continua
(x - p₁) / d₁ = (y - p₂) / d₂ (si d₁ ≠ 0 y d₂ ≠ 0)
Ecuación Implícita o General
Ax + By + C = 0
Se obtiene de la continua: d₂(x - p₁) = d₁(y - p₂)
d₂x - d₁y - d₂p₁ + d₁p₂ = 0
Donde A = d₂, B = -d₁, C = -d₂p₁ + d₁p₂.
El vector normal a la recta es n = (A, B) = (d₂, -d₁), que es perpendicular al vector director d.
También se puede expresar como: n ⋅ ( (x, y) - (p₁, p₂) ) = 0 => (A, B) ⋅ (x - p₁, y - p₂) = 0
Ecuación Explícita
y = mx + n
Se obtiene despejando y de la ecuación implícita (si B ≠ 0):
y = (-A/B)x + (-C/B)
Donde m es la pendiente y n es la ordenada en el origen.
- m = -A/B = d₂ / d₁
- La pendiente también se puede calcular a partir de dos puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂): m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
- La pendiente es la tangente del ángulo α que forma la recta con el eje OX: m = tan(α)
Ecuación Punto-Pendiente
y - p₂ = m(x - p₁)
Se utiliza cuando se conoce un punto P(p₁, p₂) y la pendiente m.
Obtener Puntos de una Recta
Para encontrar puntos pertenecientes a una recta, se da un valor arbitrario a x o y en cualquiera de sus ecuaciones y se calcula la otra variable.
Ejemplo: Para la recta x + 3y = -2:
- Si y = 0 => x + 3(0) = -2 => x = -2. El punto es (-2, 0).
- Si x = 1 => 1 + 3y = -2 => 3y = -3 => y = -1. El punto es (1, -1).
Haz de Rectas
Haz de rectas que pasan por un punto
El conjunto de todas las rectas que pasan por un punto P(x₀, y₀) se puede expresar como:
A(x - x₀) + B(y - y₀) = 0 (variando A y B, no ambos cero)
o, excluyendo la recta vertical:
y - y₀ = m(x - x₀) (variando la pendiente m)
Si se conoce otro punto por el que pasa la recta, se sustituyen sus coordenadas (x, y) para determinar la relación entre A y B o el valor de m.
Haz de rectas definido por dos rectas secantes
Dadas dos rectas secantes r₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0 y r₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0, el haz de rectas que pasan por su punto de intersección es:
α(A₁x + B₁y + C₁) + β(A₂x + B₂y + C₂) = 0
donde α y β son parámetros reales, no ambos nulos. Se puede determinar la recta específica del haz que cumple una condición adicional (pasar por otro punto, tener cierta pendiente, etc.) calculando la relación entre α y β.
Posiciones Relativas de Dos Rectas
Sean r₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0 (pendiente m₁, vector director d₁) y r₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0 (pendiente m₂, vector director d₂).
- Paralelas: Tienen la misma dirección (vectores directores proporcionales, d₁ = k d₂) y no tienen puntos en común.
- Condición: A₁/A₂ = B₁/B₂ ≠ C₁/C₂
- Pendientes: m₁ = m₂
- En forma explícita (y = mx + n): m₁ = m₂, n₁ ≠ n₂
- Coincidentes: Son la misma recta.
- Condición: A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂
- Pendientes y ordenadas: m₁ = m₂, n₁ = n₂
- Secantes: Tienen direcciones distintas y se cortan en un único punto.
- Condición: A₁/A₂ ≠ B₁/B₂
- Pendientes: m₁ ≠ m₂
- Perpendiculares: Son secantes y forman un ángulo de 90°.
- Vectores directores ortogonales: d₁ ⋅ d₂ = 0
- Vectores normales ortogonales: n₁ ⋅ n₂ = 0 (A₁A₂ + B₁B₂ = 0)
- Pendientes: m₁ ⋅ m₂ = -1 (si ninguna es vertical)
Ángulo entre Dos Rectas
El ángulo α entre dos rectas r y s se puede calcular usando:
- Vectores directores dᵣ y dₛ:
cos(α) = | dᵣ ⋅ dₛ | / ( |dᵣ| ⋅ |dₛ| )
Pendientes mᵣ y mₛ:tan(α) = | (mᵣ - mₛ) / (1 + mᵣ ⋅ mₛ) | (si 1 + mᵣmₛ ≠ 0)
Cálculo de Distancias
Distancia entre dos puntos
La distancia entre A(a₁, a₂) y B(b₁, b₂) es el módulo del vector AB:
d(A, B) = |AB| = √[ (b₁ - a₁)² + (b₂ - a₂)² ]
Distancia entre un punto y una recta
La distancia desde un punto P(x₀, y₀) a la recta r: Ax + By + C = 0 es:
d(P, r) = | Ax₀ + By₀ + C | / √(A² + B²)
Distancia entre dos rectas paralelas
La distancia entre dos rectas paralelas r: Ax + By + Cᵣ = 0 y s: Ax + By + Cₛ = 0 es:
d(r, s) = | Cᵣ - Cₛ | / √(A² + B²)
Alternativamente, se calcula la distancia de un punto cualquiera de una recta a la otra recta.
Fórmula de Herón
Permite calcular el área de un triángulo conociendo las longitudes de sus tres lados (a, b, c).
Semiperímetro (p): p = (a + b + c) / 2
Área: Área = √[ p(p - a)(p - b)(p - c) ]
Proyecciones y Simetrías
Proyección ortogonal de un punto sobre una recta
Para proyectar un punto P sobre una recta r:
- Encuentra la ecuación de la recta s, perpendicular a r, que pasa por P. (Su vector director es el vector normal de r).
- Calcula el punto de intersección M entre las rectas r y s resolviendo el sistema de ecuaciones. Este punto M es la proyección de P sobre r.
Punto simétrico de un punto respecto a una recta
Para encontrar el punto P' simétrico de P respecto a una recta r:
- Encuentra la proyección ortogonal M de P sobre r (como en el caso anterior).
- El punto M es el punto medio del segmento PP'. Usa la fórmula del punto medio para encontrar P': M = (P + P') / 2 => P' = 2M - P.
Recta simétrica respecto a otra recta
- Caso 1: Rectas Paralelas. La simétrica de la recta r respecto a la recta paralela s es otra recta r', paralela a ambas, tal que la distancia de s a r' es igual a la distancia de s a r, y s está entre r y r'. Si r: Ax+By+C=0 y s: Ax+By+C'=0, entonces r': Ax+By+C''=0 donde C'' = C' + (C' - C) = 2C' - C.
- Caso 2: Rectas Secantes. La simétrica de la recta r respecto a la recta secante s es otra recta r' que pasa por el punto de intersección P de r y s.
- Encuentra el punto de intersección P = r ∩ s.
- Elige otro punto Q cualquiera en la recta r (Q ≠ P).
- Encuentra el punto Q' simétrico de Q respecto a la recta s.
- La recta simétrica r' es la recta que pasa por los puntos P y Q'.
Puntos y Rectas Notables de un Triángulo
Dado un triángulo de vértices A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C).
Medianas y Baricentro (G)
- Una mediana es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
- Para hallar la ecuación de la mediana desde A (m_A):
- Calcula el punto medio M_A del lado BC: M_A = ( (x_B + x_C)/2 , (y_B + y_C)/2 ).
- La mediana m_A es la recta que pasa por A y M_A.
Alturas y Ortocentro (H)
- Una altura es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).
- Para hallar la ecuación de la altura desde A (h_A):
- Calcula la pendiente m_BC del lado BC.
- La pendiente de la altura h_A es m_hA = -1 / m_BC (si m_BC ≠ 0). Si BC es horizontal, la altura es vertical, y viceversa.
- La altura h_A es la recta que pasa por A con pendiente m_hA (usando la ecuación punto-pendiente).