Conceptos Clave de Física: Ondas, Sonido y Movimiento Armónico Simple

Principio de Huygens

Se trata de un mecanismo sencillo para la construcción de frentes de onda a partir de frentes de onda en instantes anteriores. Un frente de onda es cada una de las superficies que unen los puntos donde una onda oscila con la misma fase.

El principio establece que:

Los puntos situados en un frente de onda se convierten en fuentes de ondas secundarias, cuya envolvente constituye un nuevo frente de onda primario.

Aplicación del Principio

La forma de aplicarlo es la siguiente: se trazan pequeños semicírculos (ondas secundarias) de igual radio con centros en diferentes puntos de un frente de onda, y luego se traza la envolvente de estos semicírculos, la cual constituye el nuevo frente de onda.

Ejemplos Ilustrativos

La figura muestra un ejemplo de aplicación a un frente de onda esférico y otro ejemplo para explicar la difracción de un frente de onda plano producida por un obstáculo.

• Ilustración 1: Propagación de un frente de onda
  Representación de un frente de onda inicial (línea de puntos) del que emanan ondas secundarias (pequeños semicírculos). La envolvente de estas ondas secundarias forma el nuevo frente de onda (línea continua).
• Ilustración 2: Explicación de la Difracción
  Representación de un frente de onda plano (línea de puntos) incidiendo sobre un obstáculo. Las ondas secundarias generadas en los puntos del frente de onda que no son bloqueados se propagan, mostrando cómo la onda se curva al pasar por el borde del obstáculo, formando un nuevo frente de onda difractado.

Consecuencias y Alcance

Una consecuencia del principio de Huygens es que todos los rayos tardan el mismo tiempo entre dos frentes de onda consecutivos. Los rayos son líneas perpendiculares a los frentes de onda que indican la dirección de propagación de la onda.

Aunque Huygens lo formuló para las ondas materiales, que eran las únicas conocidas en su época, su principio es válido para todo tipo de ondas. Kirchhoff extendió el método a las ondas electromagnéticas, una vez que fueron descubiertas.

Problema: Audibilidad de un Sonido

Enunciado

El oído humano es capaz de percibir frecuencias entre 20 y 20,000 Hz. Indique, justificando su respuesta, si será o no audible un sonido de 1 cm de longitud de onda.

Respuesta

La frecuencia del sonido vendrá expresada por la relación entre la velocidad de propagación (v) y la longitud de onda (λ):

f = v / λ

Considerando la velocidad del sonido en el aire aproximadamente 340 m/s y la longitud de onda λ = 1 cm = 0.01 m:

f = 340 m/s / 0.01 m = 34,000 Hz

Dado que la frecuencia calculada (34,000 Hz) es superior al límite superior de audición humana (20,000 Hz), el sonido sería inaudible.

Problema: Relación Velocidad-Posición en el MAS

Enunciado

Demuestre que en un Movimiento Armónico Simple (MAS) la velocidad (v) y la posición (x) se relacionan mediante la expresión: v² = ω² (A² – x²).

Respuesta

En un MAS, la elongación (posición) se expresa por la ecuación:

x = A sen(ωt + φ₀)

donde A es la amplitud, ω es la frecuencia angular, t es el tiempo y φ₀ es la fase inicial.

La velocidad se obtiene derivando la elongación respecto al tiempo:

v = dx/dt = Aω cos(ωt + φ₀)

Demostración

Si elevamos al cuadrado la velocidad y la elongación tendremos:

v² = A² ω² cos²(ωt + φ₀)

x² = A² sen²(ωt + φ₀)

Restamos el cuadrado de la elongación al cuadrado de la amplitud:

A² – x² = A² – A² sen²(ωt + φ₀)

Factorizando A²:

A² – x² = A² [1 – sen²(ωt + φ₀)]

Aplicando la identidad trigonométrica fundamental (sen²θ + cos²θ = 1, por lo tanto 1 – sen²θ = cos²θ):

A² – x² = A² cos²(ωt + φ₀)

Ahora, multiplicamos esta diferencia por ω²:

ω² (A² – x²) = ω² A² cos²(ωt + φ₀)

Comparando esta expresión con la ecuación de v² obtenida anteriormente (v² = A² ω² cos²(ωt + φ₀)), vemos que:

ω² (A² – x²) = v²

Reordenando, obtenemos la relación buscada:

v² = ω² (A² – x²)

Tal como queríamos demostrar.