Conceptos Clave de Estadística: Media Aritmética, Frecuencias y Teoremas de Probabilidad

Propiedades Fundamentales de la Media Aritmética

A continuación, se enumeran las propiedades esenciales de la media aritmética ($\bar{X}$), una medida central clave en estadística descriptiva.

1. Suma de Desviaciones Cero: Si conocemos la media aritmética de un conjunto de números, la suma de las desviaciones de sus valores respecto a la media será igual a cero.
2. Mínimo de la Suma de Cuadrados: La suma de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de números $X_j$ respecto a un cierto número a es mínima si y solo si a es igual a la media aritmética ($\bar{X}$).
3. Media Ponderada para Subgrupos: Si se tienen varios conjuntos de datos, donde cada conjunto tiene su propia media ($m_1, m_2, \dots$) y frecuencia ($f_1, f_2, \dots$), la media de todos los números combinados se puede calcular a través de la media aritmética ponderada.
4. Cálculo mediante Media Supuesta: Si $A$ representa una supuesta media o marca de clase cualquiera y $d_j = X_j - A$ (donde $d_j$ es la desviación), entonces las ecuaciones se convierten en fórmulas para calcular la media a partir de $A$ y las desviaciones.
5. Fórmula Simplificada para Clases Iguales: Cuando en la distribución de frecuencias se tiene un tamaño o longitud igual ($C$) en todas las clases o categorías, se puede utilizar una fórmula simplificada para el cálculo de la media aritmética.

   Donde $C$ es la amplitud de clase.

Reglas para la Construcción de Distribuciones de Frecuencias de Clase

Para organizar datos en una distribución de frecuencias efectiva, se deben seguir las siguientes reglas:

1. Contar el número de datos de la muestra.
2. Calcular el rango de los datos.
3. Determinar el número de clases o categorías ($Q$). Se debe tomar en cuenta que no puede ser menor de 5 ni mayor de 20.
4. Construir las clases tomando en cuenta que los límites de clase deben ser reales, por lo que deben tener un decimal más y terminar en 5 (según la convención utilizada).
5. Marcar cada observación dentro de los límites correspondientes y determinar la frecuencia para cada clase o categoría.

Conceptos Fundamentales de Probabilidad

Primer Teorema Básico de Probabilidades (Axioma de la Probabilidad Total)

El primer teorema básico establece que la probabilidad de que ocurra un suceso ($P(A)$) más la probabilidad de que no ocurra (la no ocurrencia del suceso, representada por $P(A')$ o $\bar{A}$) es igual a 1.

Matemáticamente: $P(A) + P(A') = 1$.

Por lo tanto, ningún caso probabilístico de éxito será mayor de 1 ($P(A) \le 1$).

Segundo Teorema de Probabilidades (Regla de la Adición)

Este teorema se utiliza para calcular la probabilidad de la unión de dos sucesos ($A$ o $B$).

Fórmula del Segundo Teorema (Sucesos No Excluyentes)

La fórmula para sucesos no excluyentes denota la posibilidad de ocurrencia de $A$ o $B$ o ambas a la vez:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Diferencia con el Segundo Teorema (Caso Especial)

La diferencia radica en que, en el caso especial (sucesos mutuamente excluyentes), la ocurrencia de un suceso imposibilita la ocurrencia del otro ($P(A \cap B) = 0$). En cambio, en el teorema general (sucesos no excluyentes), pueden ocurrir uno u otro suceso o ambos a la vez.

Definición de Sucesos en Probabilidad

Sucesos Mutuamente Excluyentes

Se dice que $A$ y $B$ son dos sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles si la ocurrencia de uno de ellos imposibilita la ocurrencia del otro. Este es el caso especial del segundo teorema de probabilidades.

Sucesos No Excluyentes

$A$ y $B$ son no excluyentes cuando se encuentran en su espacio muestral y existe probabilidad de ocurrencia de $A$ o de $B$ o de ambos al mismo tiempo. Su fórmula de cálculo es el segundo teorema de probabilidades general.

El Espacio Muestral en Estadística

Definición de Espacio Muestral

El espacio muestral ($S$) es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Tipos de Espacio Muestral

Espacio Muestral Discreto

Se dice que un espacio muestral es discreto si sus resultados pueden ponerse en una correspondencia uno a uno con el conjunto de los enteros positivos (es decir, los resultados son contables).

Espacio Muestral Continuo

Se dice que un espacio muestral es continuo si sus resultados consisten en un intervalo de números reales (es decir, los resultados son incontables y pueden tomar cualquier valor dentro de un rango).