Conceptos Clave en Espacios Vectoriales: Bases y Núcleo

Teorema de la Existencia de Base

Sea E un espacio vectorial sobre K no nulo finitamente generado. Si A es un sistema generador de E, entonces existe B ⊆ A tal que B es base de E.

Demostración:

Como E es un espacio finitamente generado, supongamos que A es un sistema generador de E finito.

Si A es LI (Linealmente Independiente), entonces A es base de E y B = A.

Si A es LD (Linealmente Dependiente), entonces por el lema de la dependencia lineal, existe x ∈ A tal que x ∈ L(A - {x}). Sea C = A - {x} y comprobemos que C es también un sistema generador de E, es decir, que L(C) = L(A) = E.

Como A = C ∪ {x}, y x ∈ L(C), la envoltura lineal de A es igual a la envoltura lineal de C. Por tanto, L(C) = E y C es un sistema generador de E.

Si C es LI, entonces C es base de E y B = C.

Si C es LD, repetimos el proceso anterior hasta encontrar un conjunto que sea sistema generador y LI.

Como el conjunto A es finito y E es no nulo, el proceso termina tras un número finito de pasos, ya que aunque el sistema generador solo tuviera un vector, este vector sería no nulo y formaría un conjunto LI, por tanto sería base de E.

Teorema 32: Extensión de Conjuntos Linealmente Independientes a Bases

Sea E un espacio vectorial sobre K no nulo finitamente generado. Si A es LI, entonces existe una base B de E tal que A ⊆ B.

Demostración:

Como E es un espacio finitamente generado, supongamos que existe un sistema generador de E que contiene n vectores. Como consecuencia del Teorema 29, sabemos que si E está generado por n vectores no podemos encontrar en E más de n vectores linealmente independientes. (Nota: El texto original dice "linealmente dependientes", lo cual parece un error. La propiedad relevante del Teorema 29 o similar es que un conjunto con más de n vectores en un espacio generado por n vectores es LD. Si A es LI, su tamaño es ≤ n. Para extender A a una base, necesitamos añadir vectores. La idea es que si A no genera E, hay un vector fuera de L(A) que podemos añadir, manteniendo la independencia lineal.)

Por hipótesis sabemos que A es LI.

Si A es sistema generador de E, entonces A es base de E y B = A.

Si A no es sistema generador de E, entonces existe al menos un vector y₁ ∈ E tal que y₁ ∉ L(A).

Sea A₀ = A. Si L(A₀) ≠ E, existe y₁ ∈ E tal que y₁ ∉ L(A₀). Consideremos A₁ = A₀ ∪ {y₁}. El conjunto A₁ es LI. Si L(A₁) ≠ E, repetimos el proceso.

Este proceso de añadir vectores linealmente independientes que no están en la envoltura lineal del conjunto anterior debe terminar. Como E está finitamente generado por n vectores, cualquier conjunto de n+1 o más vectores es linealmente dependiente. Por lo tanto, el proceso debe terminar con un conjunto A_k que es LI y tiene a lo sumo n vectores. Si L(A_k) ≠ E, podríamos añadir otro vector, pero si |A_k| = n y es LI, entonces A_k debe ser una base de E.

El proceso termina en un número finito de pasos, ya que si llegamos a tener un conjunto con n vectores que es LI, este conjunto será sistema generador de E y, por tanto, base de E.

Aplicaciones Lineales

El Núcleo de una Aplicación Lineal es un Subespacio Vectorial

Sea T: E → F una aplicación lineal. Entonces el núcleo de T, N(T) = {v ∈ E | T(v) = 0}, es un subespacio de E.

Demostración:

Para comprobar que N(T) es un subespacio de E, debemos verificar tres condiciones:

1. El vector cero pertenece a N(T):

   Sabemos que T(0) = 0 (propiedad de las aplicaciones lineales). Por lo tanto, 0 ∈ N(T). Esto implica que N(T) ≠ ∅.

2. N(T) es cerrado bajo la suma de vectores:

   Sean x, y ∈ N(T). Por definición de N(T), tenemos que T(x) = 0 y T(y) = 0.

   Veamos qué ocurre con el vector x + y. Como T es una aplicación lineal, T(x + y) = T(x) + T(y) = 0 + 0 = 0.

   Por lo tanto, x + y ∈ N(T).

3. N(T) es cerrado bajo la multiplicación por escalares:

   Sean x ∈ N(T) y α ∈ K. Por definición de N(T), tenemos que T(x) = 0.

   Veamos qué ocurre con el vector αx. Como T es una aplicación lineal, T(αx) = αT(x) = α * 0 = 0.

   Por lo tanto, αx ∈ N(T).

Dado que N(T) es no vacío y es cerrado bajo la suma de vectores y la multiplicación por escalares, concluimos que N(T) es un subespacio vectorial de E.