Conceptos Clave de Electromagnetismo: Carga, Resistencia, Inductancia y Dipolos

Anillo Uniformemente Cargado

Sea un anillo de radio a con densidad de carga m y carga total q. Los componentes del campo en el eje vertical son anulados por sus simétricos, estando el campo resultante en el eje OX.

dE_x = dE * cos(θ) = (k * x * m * a * dθ) / (x² + a²)^3/2

E = (2π * k * x * m * a) / (x² + a²)^3/2 = k * x * q / (x² + a²)^3/2

Disco Uniformemente Cargado

Sea un disco de radio R con carga por unidad de área m. Consideramos el disco como un conjunto de anillos concéntricos de radio r y anchura dr. dq = 2πmr * dr. Por lo tanto, el campo será:

dE = K * x * 2πmr * dr / (x² + a²)^3/2

E = 2kπm * ∫r * dr / (x² + a²)^3/2 = 2kπm * (1 - x / [(x² + a²)^3/2])

Ley de Ohm y Resistencia

En un conductor que transporta una corriente hay un campo E en su interior. La densidad de corriente J es proporcional a ese campo. La constante de proporcionalidad es la conductividad (σ). J = σ * E. En el interior de un conductor en forma de hilo con longitud L entre A y B: V = V_a - V_b = E * L. La corriente que circula es: I = J * S = (σSV) / L, por lo que V = LI / σS.

Resistencia eléctrica del alambre: R = L / (σS) = V / I.

Reglas de Kirchhoff

Ley de Nudos

Consecuencia de la conservación de la carga eléctrica, por lo que cada carga que llegue a un nudo debe salir de él en el mismo tiempo, por lo que la carga total por unidad de tiempo es nula.

Ley de Mallas

Una malla es un circuito cerrado dentro de una red sin pasar dos veces por el mismo nudo. Es consecuencia del principio de conservación de energía. Según la ley de Ohm, V_t = R_t * I_t. El signo de las f.e.m. dependerá del sentido de recorrido escogido.

Inductancia

Consideramos dos circuitos sencillos con una fuente de alimentación y una resistencia cada uno. El flujo que atraviesa el circuito 2 es Φ_m2 = L₂ * I₂ + M₁₂ * I₁, donde L₂ será la autoinducción del circuito 2 y M₁₂ es la inducción mutua de los dos circuitos. El flujo del circuito 1 será: Φ_m1 = L₁ * I₁ + M₁₂ * I₂. Cuando los circuitos están fijos y sólo varían las corrientes, V₁ = -dΦ₁ / dt = -L₁ * dI₁ / dt - M * dI₂ / dt y V₂ = -dΦ₂ / dt = -L₂ * dI₂ / dt - M * dI₁ / dt , dado que M₁₂ = M₂₁ = M.

Circulación de un Vector a lo Largo de una Curva

Dada una curva en un campo A, la dividimos en elementos de camino dL. Llamaremos circulación elemental del vector al producto escalar A * dL. La suma de las circulaciones de todos los elementos es la circulación del vector A: C = ∫A * dL. La circulación del campo resultante es la suma de las circulaciones de todos los componentes.

Polos y Dipolos Magnéticos

La estructura más simple en el campo eléctrico es una carga puntual. Si colocamos 2 cargas de distinto signo una cerca de la otra, conseguiríamos un dipolo eléctrico. En magnetismo NO EXISTEN polos magnéticos aislados, lo que significa que la estructura más simple sería un dipolo magnético, caracterizado por un momento m. Podemos medir el momento magnético de dos formas:

• Colocar el dipolo dentro de un campo magnético y medir el momento que actúa sobre él: τ = μ × B
• Medir el campo magnético que provoca el dipolo a lo largo de su eje a una distancia r: B = μ₀ * μ / (2πr³)

A través del teorema de Gauss, una de las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo, podemos comprobar que no existen polos magnéticos aislados: ∅B = ∫B * dA = ∫∇ * B * dV = 0